第六节指数与指数函数A组基础题组1.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是()答案By=|f(x)|=|2x-2|={2x-2,x≥1,2-2x,x<1,易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),|f(x)|≥0,又y=|f(x)|在(-∞,1)上单调递减,故选B.2.已知函数f(x)=3x-(13)x,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数答案A易知函数f(x)的定义域关于原点对称.∵f(-x)=3-x-(13)-x=(13)x-3x=-f(x),∴f(x)为奇函数.又∵y=3x在R上是增函数,y=-(13)x在R上是增函数,∴f(x)=3x-(13)x在R上是增函数.故选A.3.(2019江西南昌期末)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0且a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]答案B由f(1)=19得a2=19.又a>0,所以a=13,因此f(x)=(13)|2x-4|.因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).4.若2x2+1≤(14)x-2,则函数y=2x的值域是()A.[18,2)B.[18,2]C.(-∞,18]D.[2,+∞)答案B因为2x2+1≤(14)x-2=24-2x,所以x2+1≤4-2x,即x2+2x-3≤0,所以-3≤x≤1,所以18≤y≤2.5.设a=(23)13,b=(13)23,c=(13)13,则a,b,c的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a答案A∵13<23,指数函数y=(13)x在R上单调递减,∴(13)23<(13)13.又幂函数y=x13在R上单调递增,故(23)13>(13)13,∴(13)23<(13)13<(23)13,即b
0,所以定义域为(0,+∞).7.若函数f(x)=ax-2-2a(a>0,a≠1)的图象恒过定点(x0,13),则函数f(x)在[0,3]上的最小值等于.答案-13解析令x-2=0得x=2,且f(2)=1-2a,所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1-2a),因此x0=2,a=13,于是f(x)=(13)x-2-23,f(x)在R上单调递减,故函数f(x)在[0,3]上的最小值为f(3)=-13.8.化简下列各式:(1)(279)0.5+0.1-2+(21027)-23-3π0+3748;(2)3√a72·❑√a-3÷3√❑√a-3·❑√a-1.解析(1)原式=(259)12+10.12+(6427)-23-3+3748=53+100+916-3+3748=100.(2)原式=3√a72·a-32÷3√a-32·a-12=3√a72÷3√a-12=a76÷a-16=a86=a43.9.已知函数f(x)=(12)ax,a为常数,且函数的图象过点(-1,2).(1)求a的值;(2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.解析(1)由已知得(12)-a=2,解得a=1.(2)由(1)知f(x)=(12)x,又g(x)=f(x),则4-x-2=(12)x,∴(14)x-(12)x-2=0,令t=(12)x,则t>0,t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0,又t>0,故t=2,即(12)x=2,解得x=-1,故满足条件的x的值为-1.B组提升题组1.(2018湖南衡阳三中月考)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-1,2)答案D∵(m2-m)·4x-2x<0在(-∞,-1]上恒成立,∴(m2-m)<12x在x∈(-∞,-1]上恒成立.∵y=12x在(-∞,-1]上单调递减,∴当x∈(-∞,-1]时,y=12x≥2,∴m2-m<2,∴-1b≥0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是.答案[34,2)解析函数y=f(x)的图象如图所示.因为a>b≥0,f(a)=f(b),所以12≤b<1且32≤f(a)<2.所以34≤bf(a)<2.3.已知函数f(x)=(23)|x|-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的最大值等于94,求a的值.解析(1)令t=|x|-a,则f(x)=(23)t,无论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,又y=(23)t是单调递减的,因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞).(2)设g(x)=|x|-a,由于f(x)的最大值是94,且94=(23)-2,所以g(x)=|x|-a有最小值-2.所以a=2.4.已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).(1)若f(x)为偶函数,求b的值;(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.解析(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)记h(x)=|x+b|={x+b,x≥-b,-x-b,x<-b.①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,b≥-2.②当01且b≥-2.
