第七节对数与对数函数A组基础题组1.函数f(x)=ln(x+3)❑√1-2x的定义域是()A.(-3,0)B.(-3,0]C.(-∞,-3)∪(0,+∞)D.(-∞,-3)∪(-3,0)答案A因为f(x)=ln(x+3)❑√1-2x,所以要使函数f(x)有意义,需使{x+3>0,1-2x>0,即-3
0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.12xC.log12xD.2x-2答案A由题意知f(x)=logax(x>0).∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.3.若xlog23=1,则3x+3-x=()A.53B.52C.32D.23答案B因为xlog23=1,所以log23x=1,所以3x=2,3-x=12,所以3x+3-x=2+12=52.故选B.4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x∈(0,12]时,f(x)=log2(x+1),则f(x)在区间(1,32)上是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0答案B因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x+1)=f(-x)=-f(x).当x∈(1,32)时,x-1∈(0,12),所以f(x)=-f(x-1)=-log2x,所以f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0.5.(2019湖北黄石模拟)定义a·b={a·b,a·b≥0,ab,a·b<0,设函数f(x)=lnx·x,则f(2)+f(12)=()A.4ln2B.-4ln2C.2D.0答案D2×ln2>0,所以f(2)=2×ln2=2ln2.因为12×ln12<0,所以f(12)=ln1212=-2ln2,则f(2)+f(12)=2ln2-2ln2=0.6.已知a>0且a≠1,函数y=loga(2x-3)+❑√2的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上,则f(x)=.答案x12解析函数y=loga(2x-3)+❑√2的图象恒过点P(2,❑√2).设幂函数为f(x)=xα,因为点P也在f(x)的图象上,所以2α=❑√2,所以α=12,故幂函数为f(x)=x12.7.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为,单调递增区间为.答案(-∞,-1);(-1,+∞)解析作出函数y=log2x的图象,再作出其关于y轴对称的图象即可得到函数y=log2|x|的图象,再将y=log2|x|的图象向左平移1个单位长度,就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).8.已知函数f(x)={log2x,x>0,3x,x≤0,且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.答案(1,+∞)解析如图,在同一直角坐标系中作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线y=-x+a在y轴上的截距,由图可知,当a>1时,直线y=-x+a与函数f(x)的图象只有一个交点.9.计算:(1)lg37+lg70-lg3-❑√(lg3)2-lg9+1;(2)log3❑√273·log5[(412)log210-(3❑√3)23-7log72].解析(1)原式=lg37×703-❑√(lg3)2-2lg3+1=lg10-❑√(lg3-1)2=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=log33323·log5[10-(332×23)-7log72]=(32log33-log33)·log5(10-3-2)=(32-1)·log55=12.10.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.解析(1)要使函数f(x)有意义,则{x+1>0,1-x>0,解得-10且a≠1,所以u=ax-3为增函数,所以若函数f(x)在[1,3]上为增函数,则f(x)=logau在[1,3]上必为增函数,所以a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为正,所以a-3>0,即a>3.2.若函数f(x)=loga2-1(2x+1)在(-12,0)上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是.答案(-❑√2,-1)∪(1,❑√2)解析因为x∈(-12,0),所以2x+1∈(0,1),且loga2-1(2x+1)>0,所以00时,f(x)=log12x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2-1)>-2.解析(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=log12(-x).因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=log12(-x),所以函数f(x)的解析式为f(x)={log12x,x>0,0,x=0,log12(-x),x<0.(2)因为f(4)=log124=-2,f(x)是偶函数,所以不等式f(x2-1)>-2可转化为f(|x2-1|)>f(4).又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以|x2-1|<4,解得-❑√50得-10,12a-44a=1,解得a=12.故存在实数a=12,使f(x)的最小值为0.
