第八节函数与方程A组基础题组1.已知2是函数f(x)={log2(x+m),x≥2,2x,x<2的一个零点,则f(f(4))的值是()A.3B.2C.1D.log23答案A由题意知log2(2+m)=0,所以m=-1,f[f(4)]=f(log23)=2log23=3.2.(2018山西联考,7)函数f(x)=lnx-2x2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B易知f(x)=lnx-2x2的定义域为(0,+∞),且在定义域上单调递增.∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-12>0,∴f(1)·f(2)<0,∴根据零点存在性定理知f(x)=lnx-2x2的零点所在的区间为(1,2).故选B.3.函数f(x)=x12-(12)x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案B令f(x)=x12-(12)x=0,得x12=(12)x,求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数.如图所示:由图可知两个函数图象有1个交点,故选B.4.已知函数f(x)={ex+a,x≤0,3x-1,x>0(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-∞,0)C.(-1,0)D.[-1,0)答案D当x>0时,f(x)=3x-1有一个零点x=13,所以只需要当x≤0时,ex+a=0有一个根即可,即ex=-a.当x≤0时,ex∈(0,1],所以-a∈(0,1],即a∈[-1,0),故选D.5.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.435-7414.5-56.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有个.答案3解析由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在[1,6]上至少有3个零点.6.已知f(x)={xlnx,x>0,x2-x-2,x≤0,则其零点为.答案1,-1解析当x>0时,由f(x)=0,即xlnx=0得lnx=0,解得x=1;当x≤0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,也就是(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.因为x≤0,所以x=-1.综上,函数的零点为1,-1.7.已知函数f(x)={2x-a,x≥1,ln(1-x),x<1有两个零点,则实数a的取值范围是.答案[2,+∞)解析当x<1时,令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(-∞,1)上有1个零点,∴f(x)在[1,+∞)上有1个零点.当x≥1时,令2x-a=0,得a=2x≥2,∴实数a的取值范围是[2,+∞).8.判断函数f(x)=4x+x2-23x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.解析因为f(-1)=-4+1+23=-73<0,f(1)=4+1-23=133>0,所以f(x)在区间[-1,1]上有零点.又f'(x)=4+2x-2x2=92-2(x-12)2,当-1≤x≤1时,0≤f'(x)≤92,所以f(x)在[-1,1]上是单调递增函数.所以f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.解析(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3,x=-1.所以函数f(x)的零点为3,-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0恒有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×1×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0
m,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)解析当m>0时,函数f(x)={|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m的图象如下:∵x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2>4m-m2,∴要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须有4m-m23m,解得m>3,∴m的取值范围是(3,+∞).3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.解析(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,∴f(x)={x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0.(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2≤1.作出函数f(x)的图象,如图所示,根据图象可知,使得方程f(x)=a恰有3个不同的解的a的取值范围是(-1,1).4.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)={x+14x,x>0,x+1,x≤0.(1)求g[f(1)]的值;(2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解析(1)∵f(1)=-12-2×1=-3,∴g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2.(2)若f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,54).
