第二节定积分与微积分基本定理1.∫24❑(x2+x3-30)dx=()A.56B.28C.563D.14答案C∫24❑(x2+x3-30)dx=(13x3+14x4-30x)24=13×(43-23)+14×(44-24)-30×(4-2)=563.2.(2018山东东营模拟)若∫01❑(x2+mx)dx=0,则实数m的值为()A.-13B.-23C.-1D.-2答案B由题意知∫01❑(x2+mx)dx=(x33+mx22)|01=13+m2=0,得m=-23.3.以40m/s的初速度竖直向上抛一物体,ts时的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为()A.1603mB.803mC.403mD.203m答案A令v=40-10t2=0,得t2=4,t=2.所以所求高度h=∫02❑40-10t2)dt=(40t-103t3)02=80-803=1603(m).4.已知f(x)为偶函数且∫06❑f(x)dx=8,则∫-66❑f(x)dx等于()A.0B.4C.8D.16答案D原式=∫-60❑f(x)dx+∫06❑f(x)dx,因为原函数为偶函数,即在y轴两侧的图象对称,所以对应的面积相等.所以∫-66❑f(x)dx=2∫06❑f(x)dx=2×8=16.5.若f(x)=x2+2∫01f(x)dx,则∫01f(x)dx=¿()A.-1B.-13C.13D.1答案B令∫01f(x)dx=m,则f(x)=x2+2m,所以∫01f(x)dx=∫01❑(x2+2m)dx=(13x3+2mx)01=13+2m=m,解得m=-13,故选B.6.一物体A以速度v(t)=t2-t+6作直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是()A.26.5B.53C.31.5D.63答案C由题意可得,在t=1到t=4这段时间内物体A运动的路程是s=∫14❑(t2-t+6)dt=(13t3-12t2+6t)14=(643-8+24)-(13-12+6)=31.5.7.设f(x)={❑√1-x2,x∈[-1,1),x2-1,x∈[1,2],则∫-12❑f(x)dx的值为()A.π2+43B.π2+3C.π4+43D.π4+3答案A∫-12❑f(x)dx=∫-11❑❑√1-x2dx+∫12❑(x2-1)dx=12π×12+(13x3-x)|12=π2+43,故选A.8.定义min{a,b}={a,a≤b,b,a>b,设f(x)=min{x2,1x},则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为()A.712B.512C.13+ln2D.16+ln2答案C由1x=x2,得x=1,又当x<0时,1x1,图象如图,所以,由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形为图中阴影部分,其面积S=∫01❑x2dx+∫12❑1xdx=13x301+lnx12=13+ln2.故选C.9.(2019河北保定模拟)定积分∫-11❑(x2+sinx)dx=.答案23解析∫-11❑(x2+sinx)dx=∫-11❑x2dx+∫-11❑sinxdx=2∫01❑x2dx=2×x3301=23.10.∫-11❑e|x|dx的值为.答案2e-2解析∫-11❑e|x|dx=∫-10❑e-xdx+∫01❑exdx=-e-x-10+ex01=[-e0-(-e)]+(e-e0)=-1+e+e-1=2e-2.11.已知曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为43,则k=.答案2解析由{y=x2,y=kx,得{x=0,y=0,或{x=k,y=k2,则曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为∫0k❑(kx-x2)dx=(k2x2-13x3)0k=k32-13k3=43,即k3=8,所以k=2.12.函数y=∫0t❑(sinx+12sin2x)dx的最大值是.答案2解析y=∫0t❑(sinx+12sin2x)dx=(-cosx-14cos2x)|0t=-cost-14cos2t+54=-cost-14(2cos2t-1)+54=-12(cost+1)2+2,当cost=-1时,ymax=2.13.如图,在曲线C:y=x2,x∈[0,1]上取点P(t,t2),过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x=0,x=1及直线l围成的图形包括两部分,面积分别记为S1,S2.当S1=S2时,求t的值.解析根据题意,直线l的方程是y=t2,且0
