第四节导数与函数的极值、最值A组基础题组1.(2018辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)=x3-3x-1,在区间[-3,2]上的最大值为M,最小值为N,则M-N=()A.20B.18C.3D.0答案A f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,∴M=1,N=-19,M-N=1-(-19)=20,选A.2.函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为()A.-1B.0C.1D.e答案Cf'(x)=aex-cosx,若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则f'(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,故选C.3.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四个角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A.12cm3B.72cm3C.144cm3D.160cm3答案C设盒子的容积为ycm3,盒子的高为xcm,则x∈(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以y'=12x2-104x+160.令y'=0,得x=2或203(舍去).当0
0,当20;当x=-2时,f'(x)=0;当-22时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.5.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)答案C由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令13x3+x2-23=-23,得x=0或x=-3,则结合图象可知,{-3≤a<0,a+5>0,解得a∈[-3,0).6.函数y=xlnx有极值,为.答案小;-1e解析y'=lnx+1(x>0),当y'=0时,x=e-1;当y'<0时,00时,x>e-1.∴y=xlnx在(0,e-1)上是减函数,在(e-1,+∞)上是增函数.∴y=xlnx有极小值,为y|x=e-1=-1e.7.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件.答案9解析y'=-x2+81,令y'=0,得x=9或x=-9(舍去).当00,函数单调递增;当x>9时,y'<0,函数单调递减.故当x=9时,y取最大值.8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是.答案6解析f'(x)=3x2-3a=3(x-❑√a)(x+❑√a),由f(x)的单调递减区间为(-1,1)知f'(1)=0,可得a=1,由题意知f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2.所以1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)+4=6.9.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.解析(1)由题设知f'(x)=3x2+2ax+b,且f'(-1)=3-2a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.将a=0,b=-3代入检验知符合题意.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g'(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是x=1或x=-2.当x<-2时,g'(x)<0;当-20.故x=-2是g(x)的极小值点.当-21时,g'(x)>0,故x=1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极小值点为x=-2,无极大值点.10.(2019山西长治期末)已知函数f(x)=lnx-ax.(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求实数a的值.解析(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞),且f'(x)=x+ax2,因为a>0,所以f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)可得f'(x)=x+ax2,若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-a=32,所以a=-32(舍去).若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)min=f(e)=1-ae=32,所以a=-e2(舍去).若-e0,所以f(x)在(-a,e)上单调递增,所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=32,所以a=-❑√e,综上,a=-❑√e.B组提升题组1.已知函数f(x)=exx2-k(2x+lnx),若x=2是函数f(x)的唯...
