第六节导数的综合应用(二)A组基础题组1.(2019安徽黄山一模)已知函数f(x)=m(x-1x)-2lnx(m∈R),g(x)=-mx,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)
0,解得a>-e2,所以此时-e20).(1)若k=1,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值.解析(1)k=1,f(x)=x-lnx,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1-1x,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得00),令g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2,当x=e时,g'(x)=0;当00;当x>e时,g'(x)<0.∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.∴g(x)max=g(e)=1e.当x→+∞时,g(x)→0.又k>0,∴要使f(x)有且只有一个零点,则k=1e.解法二:f(x)=kx-lnx,f'(x)=k-1x=kx-1x(x>0,k>0).当x=1k时,f'(x)=0;当01k时,f'(x)>0.∴f(x)在(0,1k)上单调递减,在(1k,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(1k)=1-ln1k,∵f(x)有且只有一个零点,∴1-ln1k=0,即k=1e.4.函数f(x)=13x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的导函数的图象如图所示:(1)求a,b的值并写出f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)有三个零点,求c的取值范围.解析(1)因为f(x)=13x3+ax2+bx+c,所以f'(x)=x2+2ax+b.由题图知f'(x)=0的两个根为-1,2,所以{-1+2=-2a,-1×2=b,解得a=-12,b=-2,由导函数的图象可知,当-12时,f'(x)>0,故函数f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.(2)由(1)得f(x)=13x3-12x2-2x+c,函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增函数,在(-1,2)上是减函数,所以函数f(x)的极大值为f(-1)=76+c,极小值为f(2)=c-103.而函数f(x)恰有三个零点,故必有{76+c>0,c-103<0,解得-760),当a<0时,f'(x)>0恒成立,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,由f'(x)=ax-1ax2>0,得x>1a,由f'(x)=ax-1ax2<0,得00时,函数f(x)在(1a,+∞)上单调递增,在(0,1a)上单调递减.(2)∵当x∈[1e,e]时,函数g(x)=(lnx-1)ex+x-m的零点,即当x∈[1e,e]时,方程(lnx-1)ex+x=m的根.令h(x)=(lnx-1)ex+x,h'(x)=(1x+lnx-1)ex+1.由(1)知当a=1时,f(x)=lnx+1x-1在(1e,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,∴当x∈[1e,e]时,f(x)≥f(1)=0.∴1x+lnx-1≥0在x∈[1e,e]上恒成立.∴h'(x)=(1x+lnx-1)ex+1≥0+1>0,∴h(x)=(lnx-1)ex+x在x∈[1e,e]上单调递增.∴h(x)min=h(1e)=-2e1e+1e,h(x)max=h(e)=e.∴当m<-2e1e+1e或m>e时,函数g(x)在[1e,e]上没有零点;当-2e1e+1e≤m≤e时,函数g(x)在[1e,e]上有一个零点.2.(2019河南开封定位考)已知函数f(x)=alnx+1x-bx+1.(1)当a=0时,函数f(x)的极小值为5,求负数b的值;(2)若b=-1,F(x)=f(x)-5x,且当a≥-4时,不等式F(x)≥2在区间[1,4]上有解,求实数a的取值范围.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=1x-bx+1(b<0),f'(x)=-1x2-b令f'(x)=0,得x1=❑√-1b,x2=-❑√-1b(舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:x(0,❑√-1b)❑√-1b(❑√-1b,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)的极小值为f(❑√-1b)=5,即❑√-b+❑√-b+1=5,解得b=-4.(2)由题意知,当a≥-4时,F(x)在[1,4]上的最大值M≥2.当b=-1时,F(x)=f(x)-5x=x-4x+alnx+1,则F'(x)=x2+ax+4x2.①当-4≤a≤4时,在[1,4]上,F'(x)=(x+a2)2+4-a24x2≥0,故F(x)在[1,4]上单调递增,M=F(4).②当a>4时,设x2+ax+4=0(Δ=a2-16>0)的两根分别为x1,x2,则{x1+x2=-a<0,x1x2=4,故x1<0,x2<0,所以在[1,4]上,F'(x)=x2+ax+4x2>0,故F(x)在[1,4]上单调递增,M=F(4).综上,当a≥-4时,F(x)在[1,4]上的最大值M=F(4)=4-1+aln4+1≥2,解得a≥-1ln2,所以实数a的取值范围是[-1ln2,+∞).
