第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题p:“∀x∈N*,(12)x≤12”的否定为()A.∀x∈N*,(12)x>12B.∀x∉N*,(12)x>12C.∃x∉N*,(12)x>12D.∃x∈N*,(12)x>12答案D 命题p:“∀x∈N*,(12)x≤12”是全称命题,∴“∀x∈N*,(12)x≤12”的否定是“∃x∈N*,(12)x>12”,故选D.2.下列四个命题中的真命题为()A.∃x0∈Z,1<4x0<3B.∃x0∈Z,5x0+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+2>0答案D选项A中,14
0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x<0时,f(x)=x+4x<0,所以命题q为假命题,所以p∨q,p∧(¬q),(¬p)∨(¬q)是真命题,故选C.6.下列说法正确的是()A.命题“存在x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“任意x∈R,使得x2+x+1≥0”B.实数x>y是1x<1y成立的充要条件C.设p,q为简单命题,若“p或q”为假命题,则“¬p或¬q”也为假命题D.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为假命题答案D命题“存在x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“任意x∈R,使得x2+x+1<0”,故A说法错误.当实数x>0>y时,1x>1y,此时1x<1y不成立,故B说法错误.“p或q”为假命题,则命题p和q都是假命题,则¬p是真命题,¬q是真命题,所以“¬p或¬q”为真命题,故C说法错误.若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,D说法正确.故选D.7.(2018河南师范大学附属中学开学考)已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.(4,+∞)B.[1,4]C.(-∞,1)D.[e,4]答案D命题p等价于lna≥x对x∈[0,1]恒成立,所以lna≥1,解得a≥e;命题q等价于关于x的方程x2+4x+a=0有实根,则Δ=16-4a≥0,所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题,所以命题p真,命题q真,所以实数a的取值范围是[e,4],故选D.8.下列命题是真命题的是()A.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数B.∃α,β∈R,使得cos(α+β)=cosα+cosβC.向量a=(2,1),b=(-1,0),则a在b方向上的投影是2D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要条件答案B当φ=π2+kπ(k∈Z)时,f(x)=±cos2x为偶函数,故A为假命题;当α=-π2,β=π4时,cos(α+β)=cosα+cosβ,故B为真命题;a在b方向上的投影是|a|·cos=|a|×a·b|a||b|=a·b|b|=-2,故C为假命题;因为{x||x|≤1}包含于{x|x≤1},所以“|x|≤1”是“x≤1”的充分不必要条件,故D为假命题.故选B.9.命题p的否定是“对所有正数x,❑√x>x+1”,则命题p是.答案∃x0∈(0,+∞),❑√x0≤x0+1解析因为¬p是p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论进行否定即可.10.已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p∧q”与“¬q”同时为假命题,则x=.答案-2解析若p为真,则x≥-1或x≤-3,因为“¬q”为假,所以q为真,即x∈Z,又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-3
