第六章数列高考中数列问题的热点题型对近几年高考试题统计看，新课标全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大．但自主命题的省市高考题每年都考查，难度中等．考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循．热点一等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用．[典题1][2015·湖北卷]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.[解](1)由题意，即解得或故或(2)由d>1知，an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②①－②，得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.用错位相减法解决数列求和问题的步骤第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.技巧点拨1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．2．等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a＞0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{bn}是一个公比为q(q＞0)的正项等比数列，则{logabn}(a＞0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由已知，得⇒a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，所以＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)，得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴数列{bn}为等差数列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝ln2.热点二数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的一种题型，重点在于灵活运用等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式．其中求通项是解答题目的基础．同时要重视方程思想的应用．[典题2][2015·天津卷]已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．[解](1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)．又q≠1，所以a3＝a2＝2.由a3＝a1q，得q＝2.当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2.所以{an}的通项公式为an＝(2)由(1)，得bn＝＝，n∈N*.设{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，上述两式相减，得Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，整理，得Sn＝4－，n∈N*.所以数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.1．根据所给条件的特点，确定合适的方法求通项，如根据an与Sn的关系求an.根据递推关系求an.2．根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有分组求和，裂项求和、错位相减法求和等．[2017·安徽合肥模拟]已知数列{an＋1＋an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，a1＝0.(1)求数列{an＋1＋an}的通项公式；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)设an＋1＋an＝bn.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n.当n＝1时，b1＝S1＝2，满足n≥2时bn的...
