第三章导数及其应用高考中导数问题的热点题型函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，常涉及的问题：研究函数的性质(如求单调区间、求极值、最值)、研究函数的零点(或方程的根)、求参数的取值范围、不等式的证明或恒成立问题，运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置被概率统计解答题占据，因此很少出现单独考查函数应用题的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现．试题类型齐全，中、高档难度，突出对四大数学思想方法的考查．热点一利用导数研究函数性质的综合问题利用导数研究函数的单调性、极值和最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题和解答题中都有涉及．主要有以下两种考查形式：(1)研究具体函数的单调性、极值或最值，常涉及分类讨论思想．(2)由函数的单调性、极值或最值，求解参数的值或取值范围．[典题1][2017·四川成都模拟]已知关于x的函数f(x)＝lnx＋a(x－1)2(a∈R)．(1)求函数f(x)在点P(1,0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有极小值，试求a的取值范围；(3)若在区间[1，＋∞)上，函数f(x)不出现在直线y＝x－1的上方，试求a的最大值．[解](1)f′(x)＝＋2a(x－1)(x>0)，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴f(x)在点P(1,0)处的切线方程为y＝x－1.(2)f′(x)＝(x>0)，令g(x)＝2ax2－2ax＋1(x>0)，①当a＝0时，f′(x)＝0无解，f(x)无极小值；②当a<0时，g(0)＝1>0，∴g(x)＝0有两解x1，x2，且x1<00，f′(x)>0，当x>x2时，g(x)<0，f′(x)<0，此时f(x)无极小值．③当a>0时， g(0)＝1>0，g(x)的对称轴为x＝，要使函数f(x)有极小值，则Δ>0，即4a2－8a>0.∴a<0或a>2，∴a>2.此时g(x)＝0有两正解x3，x4，不妨设x3≤x4，则当x3x4时，g(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)有极小值f(x4)．综上所述，a的取值范围为(2，＋∞)．(3)由题意，f(x)≤x－1，x≥1，即lnx＋a(x－1)2≤x－1，x≥1.下面证明：lnx≤x－1，x>0.记h(x)＝lnx－(x－1)＝lnx－x＋1，x>0，则h′(x)＝－1＝，x>0，当00，当x>1时，h′(x)<0，∴h(x)≤h(1)＝0，①即lnx≤x－1，x>0.①当a≤0时，f(x)≤lnx≤x－1；②当a>0时，取x>1＋，则f(x)＝lnx＋a(x－1)(x－1)>ln＋a(x－1)>ln1＋x－1＝x－1，与题意矛盾．故a的最大值为0.1．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解．分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小．2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题．[2017·山东济南模拟]已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性．解：(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.从而y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e.(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.①当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0，若x＞0，则f′(x)＞0.所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，由2x－ax2＜0，解得x＜0或x＞，由2x－ax2＞0，解得0＜x＜.所以f(x)在区间(－∞，0)与上为减函数，在上为增函数．③当a＜0时，由2x－ax2＜0，解得＜x＜0，由2x－ax2＞0，解得x＜或x＞0.所以，当a＜0时，函数f(x)在区间，(0，＋∞)上为增函数，在区间上为减函数；综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，0...
