课时跟踪检测(十五)[高考基础题型得分练]1．方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是()A．3B．2C．1D．0答案：C解析：设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根有1个．2．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)答案：D解析： 2x(x－a)＜1，∴a＞x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A．3B．4C．6D．5答案：A解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小．故选A.4．若0＜x1＜x2＜1，则()A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex2答案：C解析：令f(x)＝，则f′(x)＝＝.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，即f(x)在(0,1)上单调递减， 0＜x1＜x2＜1，∴f(x2)＜f(x1)，即＜，∴x2ex1＞x1ex2，故选C.5．[2017·河北石家庄模拟]已知函数f(x)＝x，若f(x1)＜f(x2)，则()A．x1＞x2B．x1＋x2＝0C．x1＜x2D．x＜x答案：D解析：因为f(－x)＝－x＝x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由f(x1)＜f(x2)，得f(|x1|)＜f(|x2|)(*)．又f′(x)＝ex－＋x＝.当x≥0时，e2x(x＋1)＋x－1≥e0(0＋1)＋0－1＝0，则f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，从而由(*)式得|x1|＜|x2|，即x＜x.6．[2017·广东韶关六校高三10月联考]对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝2x3－3x2＋，则g＋g＋…＋g＝()A．100B．50C．D．0答案：D解析：依题意得，g′(x)＝6x2－6x，g″(x)＝12x－6，令g″(x)＝0得x＝，因为g＝0，所以函数g(x)的对称中心为，则g(1－x)＋g(x)＝0.因为＋＝＋＝…＝＋＝×2＝1，所以g＋g＋…＋g＝0.故选D.7．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．答案：[4，＋∞)解析：当x∈(0,1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝＝－.由g′(x)＝0得x＝，当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表.xg′(x)＋0－g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．8．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.答案：－2或2解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.9．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时，t的值为________．答案：解析：当x＝t时，f(t)＝t2，g(t)＝lnt，∴y＝|MN|＝t2－lnt(t＞0)．∴y′＝2t－＝＝.当0＜t＜时，y′＜0；当t＞时，y′＞0.∴y＝|MN|＝t2－lnt在t＝时有最小值．10．已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)＝，x＞－1，且x≠0，证明：g(x)＜1.(1)解：f′(x)＝－xex.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0.(2)证明：由(1)知，当x>0时，f(x)<0，g(x)<0<1.当－1x.设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.当x∈(－1,0)时，0<－x<1,0h(0)＝0，即g(x)<1.综上，x>－1且x≠0时，总有g(x)<1.1...
