课时跟踪检测(十七)[高考基础题型得分练]1．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx(x>0)，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx(x＞0)，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当03时，f′(x)>0，故f(x)的递增区间是(0,2)，(3，＋∞)；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)的递减区间是(2,3)．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.2．[2017·甘肃兰州模拟]已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在R上为增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝lna，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，lna)上为减函数；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(lna，＋∞)上为增函数．(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x， g(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，即m≤在(2，＋∞)上恒成立，令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，h′(x)＝＝.令L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1>0在(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)>L(2)＝e2－4>0，∴h′(x)>0，即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，∴h(x)>h(2)＝，∴m≤.∴实数m的取值范围是.3．已知f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)当a＞0时，若f(x)在区间[1，e]上最小值为－2，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在点(1，－2)处的切线方程是y＝－2.(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝，令f′(x)＝＝＝0，∴x＝或x＝.当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；当1＜＜e时，f(x)在[1，e]上的最小值f＜f(1)＝－2，不合题意；当≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减，此时f(x)在[1，e]上的最小值f(e)＜f(1)＝－2，不合题意．综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．4．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明：f(x)＞0.(1)解：f′(x)＝ex－，由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex－.函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.故当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·吉林省实验中学二模]已知函数f(x)＝mx＋lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数．(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求m的值．解：(1)当m＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，定义域为(0，＋∞)．求导得f′(x)＝－1＋，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)－1由表可知f(x)的最大值为f(1)＝－1.(2)求导得f′(x)＝m＋.①当m≥0时，f′(x)>0恒成立，此时f...
