课时跟踪检测(二十九)[高考基础题型得分练]1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b＝()A．12B．8C．－8D．2答案：A解析： |a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4＝12.2．[2017·甘肃兰州诊断考试]已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A．0B．1C．2D．答案：D解析：|a－b|＝＝＝＝.3．[2017·山西太原二模]已知a＝(1，－2)，b＝(x,2)，且a∥b，则|b|＝()A．2B．C．10D．5答案：B解析： a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1,2)，∴|b|＝＝.故选B.4．[2017·东北三校联考]向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为()A．45°B．60°C．90°D．120°答案：C解析： (a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.故选C.5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.B．C.D．答案：D解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②联立①②，解得x＝－，y＝－.6．如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)()A．最大值为8B．为定值6C．最小值为2D．与P的位置有关答案：B解析：设BC的中点为D，连接AD，AP，AD的夹角为θ，则有AP·(AB＋AC)＝2AP·AD＝2|AD|·(|AP|cosθ)＝2|AD|2＝6.7．[2015·陕西卷]对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2答案：B解析：根据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立.根据向量的运算性质，得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．8．已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.答案：9解析：因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0.所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝OA2＋OA·AB＝|OA|2＋0＝32＝9.9．[2017·河南六市联考]已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________．答案：解析：设向量a和b的夹角为θ，由题意知，(a－b)·a＝a2－a·b＝0，∴2－2cosθ＝0，解得cosθ＝，∴θ＝.10．[2017·河南洛阳统考]已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.答案：解析：解法一(利用几何意义求解)：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线相等的平行四边形为矩形．故OA⊥OB.因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝.解法二(坐标法)：OA＋OB＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA－OB＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝(－sinθ－1)2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.11．[2017·山东潍坊模拟]如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.答案：解析：因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝1×3×＝.又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)＝×(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北衡水模拟]已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝()A．2B．6C．2D．12答案：C解析： |4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|4a－b|＝2.2．[2017·辽宁沈阳质量监测]在△ABC中，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝()A.B．C.D．答案：B解析：解法一：由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，E，F为BC的三等分点，不妨设AE＝AB＋AC，AF＝AB＋AC，因此AE·AF＝·＝AB2＋AC2＋AB·AC＝×4＋×1＝.故选B.解法二：由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，E，F为BC的三等分点，不妨设E，F，因此AE·AF＝×＋×＝，故选B.3．[2017·河南商丘模...
