课时跟踪检测(三十)[高考基础题型得分练]1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：D解析：PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.2．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，即2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．3．[2017·广东深圳调研]在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则AB·AC＝()A．2B．2C．－2D．－2答案：D解析：由余弦定理，得cosA＝＝＝－，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2×2×＝－2，故选D.4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A．－B．－C.D．答案：D解析：由已知，可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－.又 0≤θ≤π，∴θ＝.5．[2017·浙江杭州质量检测]设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，若AO＝AB＋AC，则∠BAC＝()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C解析：取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2AD.由题意，得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A.B．C.D．答案：C解析：设a与b的夹角为θ. f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b， 函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜.又 |a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝＜＝，即cosθ＜.又 θ∈[0，π]，∴θ∈，故选C.7．若非零向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形答案：C解析：由·BC＝0知，角A的平分线与BC垂直，∴|AB|＝|AC|；由·＝知，cosA＝，∴A＝60°.∴△ABC为等边三角形．8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则CM·CN的取值范围为()A.B．[2,4]C．[3,6]D．[4,6]答案：D解析：设MN的中点为E，则有CM＋CN＝2CE，CM·CN＝[(CM＋CN)2－(CM－CN)2]＝CE2－NM2＝CE2－.又|CE|的最小值等于点C到AB的距离，即，故CM·CN的最小值为2－＝4.当点M与点A(或B)重合时，|CE|达到最大，易知|CE|的最大值为＝，故CM·CN的最大值为6，因此CM·CN的取值范围是[4,6]．9．[2017·广东广州综合测试]在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．答案：2解析：由题意知，AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，∴|AB|＝2.10．[2017·天津十二区县重点中学联考]在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________．答案：解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，M，设E(x,0)，x∈[0,1]，则EC·EM＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋，当x∈[0,1]时，(1－x)2＋单调递减，当x＝0时，EC·EM取得最大值.11．[2017·山西太原模拟]已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意，可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.12．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝________.答案：解析： BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，由BQ·CP＝－2，可得[(1－λ)AC－AB]·(λAB－AC)＝－2.化简，得(1－λ)λAC·AB－(1－λ)AC2－λAB2＋AB·AC＝－2，又AC·AB＝0，AC2＝4，AB2＝1，∴－(1－λ)×4－λ×1＝－2，解得λ＝.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南衡阳八中高三月考]已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为()A．6B．7C...
