课时跟踪检测(三十五)[高考基础题型得分练]1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．(1)证明：由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是首项b1＝a1－1＝－，公比为的等比数列．(2)解：由(1)知，2an＋1＝an＋1，∴2an＝an－1＋1(n≥2)，∴2an＋1－2an＝an－an－1(n≥2)，即2cn＋1＝cn(n≥2)，又c1＝a1＝，2a2＝a1＋1，∴a2＝.∴c2＝－＝，即c2＝c1.∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列．∴cn＝·n－1＝.2．已知数列{an}与{bn}，若a1＝3且对任意正整数n满足an＋1－an＝2，数列{bn}的前n项和Sn＝n2＋an.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解：(1)因为对任意正整数n满足an＋1－an＝2，所以{an}是公差为2的等差数列．又因为a1＝3，所以an＝2n＋1.当n＝1时，b1＝S1＝4；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n＋1)－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，对b1＝4不成立．所以数列{bn}的通项公式为bn＝(2)由(1)知，当n＝1时，T1＝＝.当n≥2时，＝＝，所以Tn＝＋＝＋＝＋.当n＝1时仍成立，所以Tn＝＋.3．[2017·山东青岛模拟]已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝28，S8＝92；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1b2b3·…·bn－1bn＝3n＋1成立．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a10＝a1＋9d＝28，S8＝8a1＋×d＝92，解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.因为b1b2b3·…·bn－1bn＝3n＋1，所以b1b2b3·…·bn－1＝3n－2(n≥2)，两式相除，得bn＝(n≥2)．因为当n＝1时，b1＝4适合上式，所以bn＝(n∈N*)．(2)由(1)知，cn＝＝，则Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②，得Tn＝2＋－，从而Tn＝2＋3×－＝－，即Tn＝7－.4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<.(1)解：由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)证明： log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，∴cn＝＝＝，∴Tn＝＝＝. n∈N*，∴Tn<，当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝>0，∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.综上知，≤Tn<.[冲刺名校能力提升练]1．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋2an＝3(n∈N*)，设数列{bn}满足b1＝a1，bn＝(n≥2)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1) Sn＋2an＝3(n∈N*)，∴当n≥2时，Sn－1＋2an－1＝3，两式相减，得3an＝2an－1，即＝.又当n＝1时，a1＋2a1＝3，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，则an＝n－1. 当n≥2时，bn＝，两边取倒数，得＝＋，∴－＝，b1＝a1＝1，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，则＝1＋(n－1)×＝，∴bn＝.(2)由(1)可知，cn＝＝nn－1，Tn＝1＋2×＋3×2＋4×3＋…＋(n－1)×n－2＋n×n－1，①Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n.②①－②，得－Tn＝1＋＋2＋…＋n－1－n×n＝－2＋(2－n)×n，∴Tn＝4＋2(n－2)×n.2．[2017·山东临沂八校联考]已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若{bn－(－1)nan}是等比数列，且b2＝7，b5＝71，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列，所以(3d＋2)2＝(d＋2)(7d＋2)，解得d＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)令cn＝bn－(－1)nan，设数列{cn}的公比为q，因为b2＝7，b5＝71，an＝2n，所以c2＝b2－a2＝7－4＝3，c5＝b5＋a5＝71＋10＝81，所以q3＝＝＝27，故q＝3，所以cn＝c2·qn－2＝3×3n－2＝3n－1，即bn－(－1)nan＝3n－1，...
