课时跟踪检测(四十六)[高考基础题型得分练]1．[2017·陕西西安调研]如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′(λ＞0)，E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′
(1)求λ的值；(2)求二面角C－A′B－E的余弦值．解：以D为原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设AA′＝AD＝2，则AB＝2λ，D(0,0,0)，A′(2,0,2)，D′(0,0,2)，B(2,2λ，0)，C(0,2λ，0)，E(1，λ，2)，F(1,0,0)．(1)EF＝(0，－λ，－2)，D′A′＝(2,0,0)，A′B＝(0,2λ，－2)， EF⊥D′A′，EF⊥A′B，∴EF·D′A′＝0，EF·A′B＝0，即－2λ2＋4＝0，∴λ＝
(2)设平面EA′B的一个法向量为m＝(1，y，z)，则 A′B＝(0,2，－2)，A′E＝(－1，，0)，∴∴y＝，z＝1，∴m＝
由已知得EF为平面A′BC的一个法向量，又EF＝(0，－，－2)，∴cos〈m，EF〉＝＝＝－
又二面角C－A′B－E为锐二面角，故二面角C－A′B－E的余弦值为
2．如图所示的几何体，四边形ABCD中，有AB∥CD，∠BAC＝30°，AB＝2CD＝2，CB＝1，点E在平面ABCD内的射影是点C，EF∥AC，且AC＝2EF
(1)求证：平面BCE⊥平面ACEF；(2)若二面角D－AF－C的平面角为60°，求CE的长．(1)证明：在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°，解得AC＝，所以AB2＝AC2＋BC2，由勾股定理知∠ACB＝90°，所以BC⊥AC
又EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥EC
又AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF，所以平面BCE⊥平面ACEF
(2)解：因为EC⊥平面ABCD，又由
