课时跟踪检测(四十六)[高考基础题型得分练]1．[2017·陕西西安调研]如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′(λ＞0)，E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′.(1)求λ的值；(2)求二面角C－A′B－E的余弦值．解：以D为原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设AA′＝AD＝2，则AB＝2λ，D(0,0,0)，A′(2,0,2)，D′(0,0,2)，B(2,2λ，0)，C(0,2λ，0)，E(1，λ，2)，F(1,0,0)．(1)EF＝(0，－λ，－2)，D′A′＝(2,0,0)，A′B＝(0,2λ，－2)， EF⊥D′A′，EF⊥A′B，∴EF·D′A′＝0，EF·A′B＝0，即－2λ2＋4＝0，∴λ＝.(2)设平面EA′B的一个法向量为m＝(1，y，z)，则 A′B＝(0,2，－2)，A′E＝(－1，，0)，∴∴y＝，z＝1，∴m＝.由已知得EF为平面A′BC的一个法向量，又EF＝(0，－，－2)，∴cos〈m，EF〉＝＝＝－.又二面角C－A′B－E为锐二面角，故二面角C－A′B－E的余弦值为.2．如图所示的几何体，四边形ABCD中，有AB∥CD，∠BAC＝30°，AB＝2CD＝2，CB＝1，点E在平面ABCD内的射影是点C，EF∥AC，且AC＝2EF.(1)求证：平面BCE⊥平面ACEF；(2)若二面角D－AF－C的平面角为60°，求CE的长．(1)证明：在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°，解得AC＝，所以AB2＝AC2＋BC2，由勾股定理知∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥EC.又AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF，所以平面BCE⊥平面ACEF.(2)解：因为EC⊥平面ABCD，又由(1)知BC⊥AC，所以可以以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CE＝h，则C(0,0,0)，A(，0,0)，F，D，AD＝，AF＝.设平面DAF的法向量为n1＝(x，y，z)，则所以令x＝，所以n1＝.又平面AFC的一个法向量为n2＝(0,1,0)，所以＝cos60°，解得h＝，所以CE的长为.3．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是线段AB，BC的中点．(1)求证：PF⊥FD；(2)在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)，不妨令P(0,0，t)，t＞0. PF＝(1,1，－t)，DF＝(1，－1,0)，∴PF·DF＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0.∴PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由得令z＝1，则n＝.设G(0,0，m)， E.∴EG＝，由题意EG·n＝0，∴－＋m＝0，∴m＝t，∴当G是线段PA的靠近于A的一个四等分点时，使得EG∥平面PFD.(3)解： PA⊥平面ABCD，∴∠PBA就是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝1，P(0,0,1)．由(2)知，平面PFD的一个法向量为n＝.易知平面PAD的一个法向量为AB＝(1,0,0)，∴cos〈AB，n〉＝＝＝＝.由图知二面角A－PD－F的平面角为锐角，所以二面角A－PD－F的余弦值为.[冲刺名校能力提升练]1．如图所示，正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为，试确定点M的位置．(1)证明： AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD， AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE. AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)解：由(1)知，AB⊥平面ADE，又AB⊂平面ABCD，则平面EAD⊥平面ABCD，取AD的中点O，连接EO， EA＝ED，∴EO⊥AD，又平面EAD∩平面ABCD＝AD，EO⊂平面EAD，∴EO⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,1)，设M(x，y，z)，∴BM＝(x－1，y－2，z)，BE＝(－1，－2,1)， B，M，E三点共线，∴BM＝λBE，∴M(1－λ，2－2λ，λ)，∴AM＝(－λ，2－2λ，λ)，设AM与平面AED所成的角为θ， 平面AED的一个法向量为n＝(0,1,0)，∴sinθ＝|cos〈AM，n〉|＝＝，解得λ＝.故点M为BE的中点．2.在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．(1)证明： 平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，...
