课时跟踪检测(五十三)[高考基础题型得分练]1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．4B．2C．1D．8答案：C解析：由y2＝x，得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－.设点A到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选C.2．[2017·山西运城期末]已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y答案：D解析：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.3．[2017·吉林长春一模]过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则＝()A.B.C.D.答案：A解析：记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝＝＝，即cos60°＝＝，由此得＝.4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则点A的横坐标为()A．2B．3C．2D．4答案：B解析：记抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A作准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.5．[2017·北京密云模拟]已知两点A(1,0)，B(b,0)．如果抛物线y2＝4x上存在点C，使得△ABC为等边三角形，那么实数b＝________.答案：5或－解析：依题意，线段AB的垂直平分线x＝(b>－1)与抛物线y2＝4x的交点C满足|CA|＝|AB|＝|b－1|(其中n2＝2(b＋1))，于是有2＋n2＝(b－1)2，即2＋2(b＋1)＝(b－1)2，化简得3b2－14b－5＝0，即(3b＋1)(b－5)＝0，解得b＝5或b＝－.6．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱桥离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.答案：2解析：建立如图所示的平面直角坐标系，A，B是抛物线与水面的交点．由题意，得点A的坐标为(－2，－2)．设抛物线的方程为x2＝ay，把A的坐标代入，得a＝－2，即抛物线的方程为x2＝－2y.当水位下降1(单位：m)时，水面的纵坐标为－3，把y＝－3代入抛物线的方程，得x＝±.∴水位下降1m后，水面宽为2m.7．已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是________．答案：解析：抛物线的准线方程为x＝－，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时点Q的纵坐标y＝2，代入抛物线方程y2＝2x得Q的横坐标x＝2，则|MQ|－|QF|＝|2＋3|－＝.8．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x＞0)．化简得y2＝4x(x＞0)．(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB＜0.(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0，即＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．[冲刺名校能力提升练]1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A.B．4C.D．5答案：D解析：由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.B.C．3D．2答案：C解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，...
