课时跟踪检测(七十六)[高考基础题型得分练]1．[2017·江西九江模拟]已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．解：(1)∵a＝2，∴f(x)＝|x－3|－|x－2|＝∴f(x)≤－等价于或或解得≤x＜3或x≥3，∴不等式的解集为.(2)由不等式性质可知，f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，∴若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，∴实数a的取值范围是.2．[2017·甘肃兰州模拟]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为[－2,3]，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．解：(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．3．[2017·河南郑州模拟]已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，解得－
1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．综上所述，x∈.(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，即00；(2)若f(x)＋3|x－4|>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．解：(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5>0，得x>－5，所以x≥4；当－≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3>0，得x>1，所以10，得x<－5，所以x<－5.综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．(2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，当且仅当－≤x≤4时等号成立，所以m<9，即m的取值范围为(－∞，9)．2．[2017·广西南宁模拟]已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为[－1,5]，求实数a，m的值；(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3.(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，∵1≤1＋≤2，∴0≤t＜2时，0≤x≤1＋，t＝2时，0≤x＜2；当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)．∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；当t＝2时x∈R.3.[2017·辽宁联考]已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)．(1)当m＝7时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．解：(1)由题设知，|x＋1|＋|x－2|>7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：或或解得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．(2)不等式f(x)≥2，即|x＋1|＋|x－2|≥m＋4，∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋4的解集是R，∴m＋4≤3，∴m的取值范围是(－∞，－1]．4．[2017·吉林长春质检](1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加，得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.
