组合投资选择模型金融微观分析面临着许多的不确定性，对于不确定性通常有三种研究方法：1、效用分析法；2、均值分析法；3、无套利分析法。第一节组合投资选择模型一、证券组合的收益与风险组合投资理论基本假设：（1）已知投资收益率的概率分布（2）风险用方差或标准差度量（3）影响投资结果的因素仅有均值、方差（4）投资者为不满足和风险厌恶型二、组合的收益和风险(多(N)种资产)投资组合：将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。记：p=(x1,…,xN)T，设第I种证券的收益为ri，其中Xi为投资于I证券的资金比例，则。ri的标准差为，ri与rj的协方差为，相关系数为投资组合:收益率：期望收益率：方差：标准差：为的协方差矩阵第二节二次效用函数与投资证券收益率关于二次效用函数与投资证券收益率服从正态分布的讨论。设投资者的期初财富为w0，个体通过投资各种金融资产来最大化它的期末财富、~w带来的期望效用。设个体的N—M效用函数为u0,对u在E（w）作Taylor展开，U(~w)=U(E(w))+U'(~w)(~w－E(w))+U''(E(W))2!(~w－E(w))2+R3其中R3=∑n=3∞1n!u(n)(E(w)(w~−E(W))n在假设U有很光滑的条件之下，可得E(U(~w))=U(E(~w))（光滑的含义：存在N阶导、展开的级数收敛、积分与求导可交换）E(U(~w))=U(E(~w))+12U''(E(~w))σ2（~w）+E(R3)————（1）其中E(R3)=∑n=3∞1n!u(n)(E(w~)mn(w~))—————————（2）其中mn表示~w的n阶中心矩定理Ⅰ：1，如果U(~w)是二次函数则，U(~w)=a+b~w+c~w2，2，对任意N—M效用函数U，如果期末的财富服从正态分布，则期望效用仅是财富的期望与方差的函数。E(U(~w))σ2证明：如果1成立,则期望效用E(U(~w))=a+bE(~w)+cE(~w2)=a+bE(~w)+c[σ2（~w）+E2(~w)]如果2成立，则当期末财富服从正态分布时，则E(~w－E(w))j=0j①为奇数②j!(j2)!×12J2（σ2（~w））0.5j为偶数可见定理成立期望效用最大化在定理1的假设下，归结为选择均值与标准差的最优组合来实现。下面来证明在均值、标准差平面上，无差异曲线是凸的单调递增的。为此，由收益率的定义r1=w1−w0w0(1期收益率)知：walignl¿1¿¿¿~N(μ,σ2)⇒r1~N(μ~,σ~2)因此，资产（财富）的收益率服从均值为r−,，标准差为σ的正态分布。定理Ⅱ：当资产收益率r~N(r,−σ2)时，则无差异曲线是向下凸的，风险厌恶者的期望收益与风险之间的边际替代率是正的。证明：略第三节关于组合投资的有效边界的讨论及性质定义：如果一个证券组合在所有的均值收益率的证券组合中是具有最小的方差值，那幺这个组合就是有效的证券组合。Markowitz模型：Mins.t构造Lagrange函数：解得：令A=，B=，C=，D=。继而得到：（﹡）最小方差集合性质性质一f,f+h是0，1均值的两个投资组合。在﹡式中，取E（Rx）=0→X¿p¿¿¿=f,取E（Rx）=1→X¿p¿¿¿=f+h性质二前沿面上的所有证券都是f和f+h的组合。证明：做f和f+h的组合q（1—E(rq)）*f+E(rq)*（f+h）=f+h*E(rq)=Xq性质三证明：讨论证券x与q的协方差Cov(rx,rq)=E(rx-E(rx))(rq-E(rq))=CD(E(rx)-AC)(E(rq)-AC)+1¿C¿¿¿特别的当x=q,有：σX2=1¿C¿¿¿+CD(E(rx)-AC)2⇒（抛物线）σX21C—(E(rx)-AC)2DC=1⇒（双曲线）E(rx)AC1¿C¿¿¿σX2当E(rx)=AC时，则有一全局最小方差的投资组合性质四有效证券组合是一个凸集。证明：假设证券组合X1,X2,……,XN是n个有效的证券组合E(wi~)¿AC于是对任意实数ai¿0,∑ai=1由性质2,∑aiw~i是一个证券组合且，∑aiw~i¿∑aiAC=AC因此它是有效的。性质五对于除mvp外，任一个有效证券组合X，必有唯一一个最小方差集合上的证券组合ZC(X)，使得。推论一ZC(ZC(X))=X。推论二对所有的证券组合X，。推论三，如果X是有效组合，则E(rZC(x)>AC,否则ZC(X)是无效的证券组合。E(r)AC1¿C¿¿¿σ2证明：考察两个有效的证券组合的协方差Cov(rp,rZC(p))=XpTVXZC(p)=CD(E(rP)-AC)(E(rZC(p))-AC)+1¿C¿¿¿令Cov(rp,rZC(p))=0解得：E(rZC(p)=AC—DCErp__AC性质六任意证券Y的收益率均值，均可表示为任一个最小方差集合上证券组合X(除mvp外)，与其对应的ZC(X)的收益率均值的组合：。投资...
