数列通项公式的求法(经典)VIP免费

数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为 成等比数列，∴，即 ，∴………………………………① ∴…………②由①②得：，∴】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122(1),nnnaa,)1(22221nnnaa……，.2212aa11221122(1)2(1)2(1)nnnnnaa].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211nnnnnnnnn经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，注：由和确定的递推数列的通项还可以如下求得：所以，，，依次向前代入，得，类型3递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例5.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.②为一次多项式，即递推公式为例6．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得备注：本题也可由,（）两式相减得转化为求之.③为的二次式，则可设;类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例7.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例8.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。1．在数列中，，，求. ，当时，，，，将上面个式子相加得到：∴（），当时，符合上式故.2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.由题意∴ ，∴，∴，∴，又，∴当时，，当时，符合上式【变式2】已知数列中，，，求通项公式.由得，∴，∴，∴当时，当时，符合上式∴3．数列中，,，求.对两边同除以得即可. ，∴两边同除以得，∴成等差数列，公差为d=5，首项，∴，∴.4．已知数列中，，，求.法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且∴法二： ①②由①－②得：设，则数列为等比数列∴∴∴法三：，，，……，，∴【变式1】已知数列中，，求【答案】令，则，∴，即∴，∴为等比数列，且首项为，公比，∴，故.【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】 ，∴设，则，即，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴，∴.∴.5．已知数列中，是它的前n项和，并且,.(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：（1）因为，所以以上两式等号两边分别相减，得即，变形得因为，所以由此可知，数列是公比为2的等比数列.由,,所以,所以,所以.（2），所以将代入得由...