求数列的通项公式之常用方法湖北省建始县民族高级中学胡贻富一、观察法例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1），（2），（3）或，（4），（5），（6）或二、公式法(1)、已知数列为等差数列，公差为，则数列的通项公式（，）；(2)、已知数列为等比数列，公比为，则数列的通项公式（，）；(3)、已知数列的前项和为，则例2已知数列的前项和为，根据下列条件分别求它们的通项.（1）；（2）.解：（1）当时，；当时，，显然满足.故数列的通项公式，.（2）当时，；当时，.显然不满足.故数列的通项公式例3、已知正项数列满足，求数列的通项公式.方法一（消留）当时，，∴.当时，，整理得，， 数列是正项数列，∴，∴（），故数列是以首项，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式，.方法二（消留）根据题意可知，，.当时，，∴=，整理得，， ，，∴，则，即（）.故数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，.故，.三、累加法例4已知数列的首项为3，为等差数列且，.若，，求数列的通项公式.解：设等差数列的公差为. ，，∴且，解得，.故等差数列的通项公式为，.∴，.因此，，，，……，将上面的式子相加得，，即，∴，.【题后悟道】对形如（）或，的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出的关系式.四、累乘法例5已知数列中，，前项和为.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式.解：（1），解得；（2）方法一（累乘法），解得.当时，.当时，，整理得，即（）.因此，，，，，…，，，将上面的式子相乘得，，即，即（），显然满足.故数列的通项公式，.【题后悟道】对形如（）或，的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出的关系式.方法二（迭代法）,.五、构造新数列法例6、（P93典例3）已知数列中，，，求数列的通项公式.解：设，因为，∴，∴.设，则，∴数列是以为首项，公比为3的等比数列，∴，则，则，.【题后悟道】对形如“”的递推公式求通项公式，可将递推公式变形为，设，则.从而构造等比数列，求出，进一步求出.这种求数列通项公式的方法叫做构造等比数列法。例7已知数列中，，，，且.（1）求，的值；（2）设（），证明：是等差数列.（3）求数列的通项公式.解：（1）；.(2)由，，且可得，（），则（）又，故数列是首项为0，公差为1的等差数列.（3）由（2）知，（）.∴，∴（）.六、待定系数法例8已知数列为等差数列，，.（1）求数列的通项公式.（2）记数列的前项和为，若，，成等比数列，求正整数的值。解：（1）设等差数列的公差为， ，，∴解得∴，（2由（1）可得. ，，成等比数列，∴.从而. 为正整数，∴.例9设等比数列的前项和为，已知，，求和.解：设等比数列的公比为， ，，∴解得或∴当时，，，；当时，，，【题后悟道】若已知数列是等差或等比数列，只需构造方程（组）求出首项、公差、公比，便可写出通项公式.例10（倒数变换）已知数列中，，，求数列的通项公式.解：根据题意得（）. ，∴，则.故数列是以为首项，2为公差的等差数列，∴，∴（）例11、已知数列中，，（，），求数列的通项公式.解： （，），∴，则，令，则（）.故数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴， ，∴，∴（）.例12、已知数列中，，，（），求数列的通项公式.方法一： （），∴（），令（），∴（），又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，∴（），∴（），即（），变形为，即，变形为（）令（），则（）.故数列是以为首项，-3为公比的等比数列，∴（），则（），则（）.即数列的通项公式为（）.方法二： （），∴（）.令，则（）.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴（），则（），变形为（），则（），即（）.令，则（），（），故数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，则，则，即（），.即数列的通项公式为（）.方法三： （），∴（），令（），∴（），又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，∴（），∴（），① （），∴（）.令，则（）.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴（），则（），②由②-①得，，（），整理得（）.例13（对数变换）已知数列中，，（），求数列的通项公式.解： ，（），∴，则（）.故数列是...
