专题强化弹簧—小球模型滑块—斜(曲)面模型[学习目标]1.进一步理解动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律的内容及含义.2.会应用动量观点和能量观点分析这两类模型.一、弹簧—小球模型1.对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统,在相互作用的过程中,若系统合外力为零,则满足动量守恒定律.2.在能量方面,由于弹簧发生形变,具有弹性势能,系统的总动能将发生变化,若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功,系统机械能守恒.若还有其他外力和内力做功,这些力做功之和等于系统机械能的改变量.3.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大.如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零,当弹簧为自然长度时,系统内弹簧某一端的物体具有最大速度,此时弹性势能为零.例1如图1所示,光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球,小球与水平轻质弹簧相连,另有一质量为m1的刚性小球以速度v0向右运动,并与弹簧发生相互作用,两球半径相同,求:图1(1)弹簧弹性势能的最大值;(2)弹簧第一次恢复原长时,m1、m2两球的速度大小.m1m2v02答案(1)2m1+m2m1-m2v02m1v0(2)m1+m2m1+m2解析(1)两球速度相同时,弹簧弹性势能最大.以v0的方向为正方向,由动量守恒定律得m1v0=(m1+m2)v11由能量守恒得m1v02=(m1+m2)v2+Epmax22m1m2v02解得Epmax=2m1+m2(2)从m1与弹簧接触到弹簧第一次恢复原长,整个过程两球相当于发生弹性碰撞,由动量守恒定律和能量守恒定律得:m1v0=m1v1′+m2v2′111m1v02=m1v1′2+m2v2′2222m1-m2v0解得v1′=m1+m22m1v0v2′=.m1+m2例2如图2所示,用水平轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v=6m/s的速度在光滑水平地面上运动,弹簧处于原长,质量为4kg的物块C静止在前方,B与C碰撞后二者粘在一起运动.在以后的运动中,求:图2(1)当弹簧的弹性势能最大时,物块A的速度多大?(2)弹簧弹性势能的最大值是多大?(3)A的速度有可能向左吗?为什么?答案(1)3m/s(2)12J(3)见解析解析(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.由于A、B、C三者组成的系统动量守恒,以v的方向为正方向,有:(mA+mB)v=(mA+mB+mC)vA′解得vA′=3m/s.(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒,设碰后瞬间B、C两者速度为v′,则:mBv=(mB+mC)v′解得:v′=2m/s设弹簧的弹性势能最大为Ep,根据能量守恒:111Ep=(mB+mC)v′2+mAv2-(mA+mB+mC)vA′2222解得Ep=12J.(3)A、B、C组成的系统动量守恒mAv+mBv=mAvA+(mB+mC)vB设A的速度向左,有vA<0,vB>4m/s则作用后A、B、C动能之和:111Ek=mAvA2+(mB+mC)vB2>(mB+mC)vB2>48J222实际上系统的总机械能为:1E=Ep+(mA+mB+mC)vA′22=12J+36J=48J根据能量守恒定律,Ek>E是不可能的,所以A不可能向左运动.二、滑块—斜(曲)面模型对于滑块—斜(曲)面模型,系统所受合外力不为零,但常在某一方向上的合力为零,则在该方向上系统动量守恒,再根据能量分析情况,结合能量规律列方程,联立求解.例3如图3所示,有一质量为m的小球,以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道.已知圆弧轨道的质量为2m,小球在上升过程中始终未能冲出圆弧,重力加速度为g,求:图3(1)小球在圆弧轨道上能上升的最大高度;(用v0、g表示)(2)小球离开圆弧轨道时的速度大小.v02v0答案(1)(2)3g3解析(1)小球在圆弧轨道上上升到最高时两物体速度相同,系统在水平方向上动量守恒,规v0定小球运动的初速度方向为正方向,有:mv0=3mv,得v=3根据机械能守恒得:11mv02=×3mv2+mgh22v02解得:h=3g(2)小球离开圆弧轨道时,根据动量守恒,则有:mv0=mv1+2mv2根据机械能守恒,则有:111mv02=mv12+×2mv222221联立以上两式可得:v1=-v0,3v0则小球离开圆弧轨道时的速度大小为.3例4如图4,光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体,斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出,冰块平滑地滑上斜面体,在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m(h小于斜面体的高度).已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg,冰块的质...