外接球与内切球问题解题技巧梳理一.外接球8大模型秒杀公式推导说明:r为底面外接圆的半径,R为球的半径,l为两面公共边的长度为两个面的二面角,h是空间几何体的高,H为某一面的高1.墙角模型(1)使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合(2)推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径a2b2c23a22(2)秒杀公式:R(a、b、c为长方体的长宽高)R(a正方体的边长)442(4)图示过程(3)秒杀公式:2.汉堡模型(1)使用范围:有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体(2)推导过程第一步:取底面的外心O1,,过外心做高的的平行且长度相等,在该线上中点为球心的位置h2第二步:根据勾股定理可得Rr422h2(3)秒杀公式:Rr422(4)图示过程3.斗笠模型1/13(1)使用范围:正棱锥或顶点的投影在底面的外心上(2)推导过程第一步:取底面的外心O1,,连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h第二步:在h上取一点作为球心Or2h2第三步:根据勾股定理R(hR)rR2h222r2h2(3)秒杀公式:R2h(4)图示过程4.折叠模型(1)使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(2)推导过程第一步:过两个平面取其外心H1、H2,分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O=(CE-H1E)2tan2(Hr)2tan2(为两个平面的二面角)22222222r2第三步:OCOH1CH1(Hr)tan2222r2(3)秒杀技巧:R(Hr)tan2第二步:计算OH1H1Etan222(4)图示过程5.切瓜模型2/13(1)使用范围:有两个平面互相垂直的棱锥(2)推导过程:第一步:分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N,过两个外心做两个垂面的垂线,两条垂线的交点即为球心O,取BC的中点为M,连接FM、MN、OF、ON第二步:l2ONMF为矩形由勾股可得OAANONANMFRrr2222222122(3)秒杀公式:R2r2r2l2124(4)图示过程6.麻花模型(1)使用范围:对棱相等的三棱锥(2)推导过程:设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、cx2a2b2ybcRx2y2z222228z2a2c2x2y2z2(3)秒杀公式:R28(4)图示过程43/137.矩形模型(1)使用范围:棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边(2)推导过程:根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得,斜边为球的直径3)秒杀公式:R2l2(4(4)图示过程8.鳄鱼模型(1)使用范围:适用所有的棱锥(2)推导过程:第一步:在两个平面上分别找外心O1、O2且过两外心做这两面的垂线相交于球心O第二步:O1OO2E四点共圆,正弦定理可得OE=2r=O1O2sin(1)在O2221O2E中,O1O2=O2EO1E2O2EO1Ecos(2)OD2O221OO1D(3)第三步:由(1)(2)(3)整理可得OD2O221OO1D=OE2O221EO1D2O1O222sin2O1EO1DOE2O221E2O2EO1Ecossin2O1E2O21DOE2O2=21E2O2EO1Ecossin2O221EO1B4/13第四步:设O2E=m,O1E=n,AB=l,两个面的二面角为m2n222mncosl2由第三步可得R=sin2+43)秒杀公式:R2=m2n22mncosl2(sin2+4(4)图示过程二.内切球的半径---等体积法1.推导过程以三棱锥P-ABC为例VPABC13S1111底面h3RSPAB3RSPAC3RSPBC3RSABC=13R(SPABSPACSPBCSABC)=13RS表面积R=3V几何体S表面积2.秒杀公式:R=3V几何体S表面积3.图示过程5/13技巧1外接球之墙角模型【例1】已知长方体ABCDA'B'C'D'中,A'B'3,B'C'1,A'B与平面ACC'A'所成角的正弦值为5,则该长方体的外接球的表面积为()10A.4【举一反三】B.16C.163D.3231.棱长为2的正方体的外接球的表面积为()A.4B.43C.12D.432.球面上有A,B,C,D四个点,若AB,AC,AD两两垂直,且ABACAD4,则该球的表面积为()A.803B.32C.42D.48技巧2外接球之汉堡模型【例2】已知四棱锥ABCDE中,四边形BCDE是边长为2的正方形,AB3且AB平面BCDE,则该四棱锥外接球的表面积为()A.4【举一反三】1.各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)高...