题型专题(十一)三角函数的图象与性质[师说考点]1．三角函数的定义若角α的终边过点P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(其中r＝)．2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的——三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(“注意奇变偶不变，”符号看象限)3．基本关系sin2x＋cos2x＝1，tanx＝.[典例](1)(2016·广州模拟)已知cos(θ＋π)＝－，则sin＝________.[解析]因为cos(θ＋π)＝－，所以cosθ＝，所以sin＝cos2θ＝2cos2θ－1＝－.[答案]－(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4，3)，则的值为________．[解析]原式＝＝tanα.根据三角函数的定义，得tanα＝＝－，∴原式＝－.[答案]－应用三角函数的定义和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．[演练冲关]1．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为()A.B.C.D.解析：选Dtanθ＝＝＝－1，又sin>0，cos<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0，2π)，所以θ＝.2．若θ∈，则＝________.解析：因为＝＝＝|sinθ－cosθ|，又θ∈，所以原式＝sinθ－cosθ.答案：sinθ－cosθ[师说考点]函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“”五点法作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换[典例](1)(2016·全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin[解析]选A由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.(2)(2016·全国乙卷)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin[解析]选D函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期，即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin[2＋]＝2sin，故选D.解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ“”常根据五点法中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(如例(1))(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(如例(2))[演练冲关]1．(2016·西安质检)将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是()A．x＝－B．x＝C．x＝D．x＝解析：选D将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin(x＋)的图象，由x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝.2．(2016·贵州模拟)将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0<φ≤)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝()A.B.C.D.解析：选A将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin＝sin，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又0<φ≤，所以φ＝，选项A正确．3.(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又 f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，∴φ＝＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝，∴f(x)＝cos，∴f(1)＝－.答案：－[师说考点]1．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ...
