专题检测（十五）立体几何中的向量方法（高考题型全能练）1．(2016·合肥质检)如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．2.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.(1)求证：OC⊥PD；(2)若PD与平面PAB所成的角为30°，求二面角DPCB的余弦值．3．(2016·贵州模拟)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体ABCD，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体ABCD的体积最大时，求二面角ACDB的余弦值．4．(2016·昆明七校联考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E为BC中点．(1)求证：C1D⊥D1E；(2)在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，说明理由；(3)若二面角B1AED1的大小为90°，求AD的长．答案1．解：(1)证明：连接AC，由AECG可知四边形AEGC为平行四边形．所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，因为BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF.(2)设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綊AE，从而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，由平面几何知识，得BF＝2.如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，2，0)，E(2，0，3)，F(0，2，2)，P(0，0，3)，所以＝(2，－2，3)，＝(2，0，0，)，＝(0，2，－1)．设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，可得令y＝1，则z＝2.所以n＝(0，1，2)．设BE与平面EFGH所成角为θ，则sinθ＝＝.2.解：(1)证明：连接OP，∵PA＝PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB.∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC.∵OD⊥PC，OP∩PC＝P，∴OD⊥平面OPC，∵OC⊂平面OPC，∴OD⊥OC，又OP⊥OC，OD∩OP＝O，∴OC⊥平面OPD，∵PD⊂平面OPD，∴OC⊥PD.(2)取CD的中点E，以O为坐标原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB＝2.∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝，∴B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，)，从而＝(1，1，－)，＝(0，－2，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，得可取n1＝(，0，1)．同理，可取平面PCB的一个法向量为n2＝(0，－，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝＝－，∴二面角DPCB的余弦值为－.3．解：(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC.即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1.若AD⊥BC，因为AD⊥AB，所以AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.即AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，所以a2＝－1，无解．故AD⊥BC不成立．(2)要使四面体ABCD的体积最大，因为△BCD的面积为定值，所以只需三棱锥ABCD的高最大即可，此时平面ABD⊥平面BCD，过点A作AO⊥BD于点O，则AO⊥平面BCD，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则易知A，C(，，0)，D，显然，平面BCD的一个法向量为＝.设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．因为＝，＝，所以令y＝，得n＝(1，，2)．故二面角ACDB的余弦值为|cos〈，n〉|＝＝.4．解：(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，1，0)，B1(a，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E，∴＝(0，－1，－1)，＝，∴C1D⊥D1E.(2)设＝h，则M(a，0，h)，∴＝(0，－1，h)，＝，＝(－a，0，1)，设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，a，2a)，∵BM∥平面AD1E，∴⊥n，即·n＝2ah－a＝0，∴h＝.即在AA1上存在点M，使得BM∥平面AD1E，此时＝.(3)连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为m＝(x′，y′，z′)，＝，＝(0，1，1)，∴平面B1AE的一个法向量为m＝(2，a，－a)．∵二面角B1AED1的大小为90°，∴m⊥n，∴m·n＝4＋a2－2a2＝0，∵a>0，∴a＝2，即AD＝2.
