高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题7 解析几何 第32练 圆锥曲线中的探索性问题 文-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

第32练圆锥曲线中的探索性问题[题型分析·高考展望]本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大．体验高考1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解(1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H.所以N为OH的中点，即＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．2．(2016·四川)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．解(1)由已知，得a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2,1)．(2)由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，由方程组可得所以P点坐标为，|PT|2＝m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程组可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，由Δ>0，解得－b>0)经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．解(1)依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2) 直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1,0)，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又由MA＝λAF，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.∴当直线l的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－.点评(1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)定值问题的求解策略“”在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取特殊“”值，先确定定值是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．变式训练1已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点．(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解(1)当直线l的斜率为－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，即x＝3－y，代入y2＝2px(p>0)得y2＋2py－6p＝0，＝－p＝－2，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为x＝m(y＋2)＋5，代入y2＝4x得y2－4my－8m－20＝0，设点A(，y1)，B(，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－20，假设存在点P(，y0)总是在以弦AB为直径的圆上，则PA·PB＝(－)(－)＋(y1－y0)(y2－y0)＝0，当y1＝y0或y2＝y0时，等式显然成立；当y1≠y0或y2≠y0时，则...