第41练配方法与待定系数法[题型分析·高考展望]配方法是对数学式子进行一种定向变形(“”配成完全平方)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简．如何配方，需要我们根据题目的要求，“”“”“”“”合理运用裂项与添项、配与凑的技巧，完全配方．配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．高考必会题型题型一配方法例1(1)设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，则a的值是________．(2)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．(3)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是________．答案(1)(2)(3)(3,0)解析(1)由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)＝＝(logax＋)2－.当f(x)取最小值－时，logax＝－，又 x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． f(x)是关于logax的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．若(loga2＋)2－＝1，则a＝2，f(x)取得最小值时，x＝(2)＝∉[2,8]，舍去．若(loga8＋)2－＝1，则a＝，f(x)取得最小值时，∴a＝.(2)y＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sin2x－sinx)＋1＝－2(sinx－)2＋2×＋1＝－2(sinx－)2＋.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝时，y取最大值，最大值为.(3)设P点坐标为(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，AP·BP有最小值1，∴此时点P坐标为(3,0)．点评配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方．它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题．如：y＝x2＋bx＋c＝x2＋2×x＋()2－()2＋c＝(x＋)2＋，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋2×x＋()2－()2]＋c＝a(x＋)2＋.变式训练1(1)若函数f(x)＝m－的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则实数m的取值范围是________．(2)已知函数y＝－sin2x＋asinx－＋的最大值为2，则a的值为________．(3)已知向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是________．答案(1)－1，即a>2时，函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由ymax＝－1＋a－a＋＝2，得a＝.③当<－1，即a<－2时，函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由ymax＝－1－a－a＋＝2，得a＝－2(舍去)．综上，可得a＝－2或a＝.(3)由题意知，2b＝(2m，m＋2sinα)，所以λ＋2＝2m，且λ2－cos2α＝m＋2sinα，于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sinα，即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sinα＋4＝－2(sinα－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即≤解得－λ≤2，则＝＝2－∈[－6,1]．题型二待定系数法例2(1)(2015·课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案解析 向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使...
