第42练整体策略与换元法[题型分析·高考展望]整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径．换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．高考必会题型题型一整体策略例1(1)计算(1…－－－－－)×(…＋＋＋＋＋)－(1…－－－－－－－)×(…＋＋＋＋)；(2)解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.解(1)…设＋＋＋＋＝t，则原式＝(1－t)(t＋)－(1－t－)t＝t＋－t2－t－t＋t2＋t＝.(2)设x2＋5x＝t，则原方程化为(t＋1)(t＋7)＝7，∴t2＋8t＝0，解得t＝0或t＝－8，当t＝0时，x2＋5x＝0，x(x＋5)＝0，x1＝0，x2＝－5；当t＝－8时，x2＋5x＝－8，x2＋5x＋8＝0，Δ＝b2－4ac＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x1＝0，x2＝－5.点评整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．变式训练1计算：(1－－－)×(＋＋＋)－(1－－－－)×(＋＋)．解令＋＋＝t，则原式＝(1－t)(t＋)－(1－t－)t＝t＋－t2－t－t＋t2＝.题型二换元法例2(1)已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0∞，＋)上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是________________．(2)已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且OA·OP＝48，则点P的横坐标的最大值为________．答案(1)(∞－，2＋2)(2)10解析(1)令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1∞，＋)上的图象恒在x轴上方，即Δ＝t2－4(t＋1)<0或解得t<2＋2，即实数t的取值范围是(∞－，2＋2)．(2)当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k>0，设OA：y＝kx，k>0，与椭圆＋＝1联立解得x＝，又OA·OP＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝＝＝，令9＋25k2＝t>9，即k2＝，则xP＝＝×25＝80≤80×＝10，当且仅当t＝16，即k2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.(3)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.①对一切x∈(0∞，＋)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；②证明：对一切x∈(0∞，＋)，都有lnx>－成立．①解对一切x∈(0∞，＋)，有2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x∈(0∞，＋))，则h′(x)＝，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1∞，＋)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0∞，＋)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.②证明问题等价于证明xlnx>－(x∈(0∞，＋))．f(x)＝xlnx(x∈(0∞，＋))的最小值是－，当且仅当x＝时取到，设m(x)＝－(x∈(0∞，＋))，则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0∞，＋)，都有lnx>－成立．点评换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理，换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．主要考查运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程．变式训练2(1)已知函数f(x)＝＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为________．答案2＋2解析f(x)＝＋2(x－1)＋2，令x－1＝t，则f(t)＝＋2t＋2(t>0)，∴f(t)≥2＋2＝2＋2.当且仅当＝2t时等号成立，故f(x)的最小值为2＋2，当且仅当＝2(x－1)，即x＝＋1时等号成立．(2)已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.①求Sn的表达式；②设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn<.①解 S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn...
