（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十三选考部分第3讲不等式选讲专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解：(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象(如图)，它与直线y＝2的交点为(－7，2)和.所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(∞－，－7)∪.(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－.2．已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．解：(1)不等式f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，∴①或②或③解①得－1≤x＜－，解②得－≤x≤，解③得＜x≤2，即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即f(x)的最小值等于4，∴|a－1|＞4，解此不等式得a＜－3或a＞5.故实数a的取值范围为(∞－，－3)∪(5，∞＋)．3．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)＜4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|＜|4＋ab|.解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2.∴M＝(－2，2)．(2)证明：a，b∈M，即－2＜a＜2，－2＜b＜2，∴4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)＜0，∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，∴2|a＋b|＜|4＋ab|.4．设函数f(x)＝|2x－1|＋|x－4|.(1)求不等式f(x)＞4的解集；(2)若对∀x∈R，f(x)≥－λ2＋λ，求实数λ的取值范围．解：(1)f(x)＝由得x＜；由得1＜x≤4；由得x＞4.综上，不等式f(x)＞4的解集为.(2)由y＝f(x)的图象可知f(x)在x＝处取得最小值，因为对∀x∈R，f(x)≥－λ2＋λ，所以≥－λ2＋λ，即2λ2－9λ＋7≥0，所以λ≤1或λ≥.所以实数λ的取值范围为(∞－，1]∪.5．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0，等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0.且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9.6．已知a，b∈(0，∞＋)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，∞＋)．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.解：(1)因为a，b∈(0，∞＋)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，∞＋)，所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6，当且仅当＝＝，a＝b，即a＝b＝且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.(2)证明：法一：因为a，b∈(0，∞＋)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，∞＋)．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2，当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．法二：因为a，b∈(0，∞＋)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，∞＋)．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．
