高考数学二轮复习 专题四 导数及其应用 第2讲 导数的综合应用考题溯源变式 理-人教版高三数学试题VIP免费

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题四导数及其应用第2讲导数的综合应用考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅱ，12分)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x，(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4b·f(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；(3)已知1.4142<<1.4143，估计ln2的近似值(精确到0.001)(必修1P83B组T4)设f(x)＝，g(x)＝.求证：f(2x)＝2f(x)g(x).(选修2－2P26T1(2))：判断函数f(x)＝ex－x的单调区间.(选修2－2P32B组T1(3))证明不等式ex>1＋x.真题是三个小题的有机合成，源于教材，高于教材，整合教材资源得出高质量的综合试题，是值得我们注意的.[教材变式训练][变式1](选修2－2P26练习T1(4)改编)已知f(x)＝－x3－x2＋(a＋1)x＋1(a>0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0≤x≤1时，分别求出f(x)取得最大值和最小值时x的值．解：(1)f(x)的定义域为(∞－，∞＋)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，由x1x2时，f′(x)<0；当x10.故f(x)在(∞－，)和(，∞＋)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当00，a>0)，(1)求f(x)的单调区间；(2)当f(x)max＝1时，求a的值；(3)试比较20142015与20152014的大小．解：(1) f(x)＝得f′(x)＝(x>0)，令f′(x)＝0，∴x＝e， a>0，∴f′(x)>0时，0e，∴f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，＋∞)．(2)由(1)知f(x)max＝f(e)＝，∴＝1，∴a＝e.(3)由(1)知f(x)在(e，∞＋)上是减函数，∴f(2014)>f(2015)，即>，∴2015ln2014>2014ln2015，∴20142015>20152014.[变式3](选修2－2P31练习(4)改编)已知函数f(x)＝2x3－3x，(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0得，x＝－或x＝，因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，因此，t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得4x－6x＋t＋3＝0，设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，“则过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)”相切等价于“g(x)有3”个不同的零点，g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，g(x)与g′(x)的情况如下：x(∞－，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)t＋3t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，g(x)在区间(∞－，1]和(1，∞＋)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0即t≥－1时，g(x)在区间(∞－，0)和[0，∞＋)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)>0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2]上恰有1个零点．由于g(x)在区间(∞－，0)和(1，∞＋)上单调，所以g(x)分别在区间(∞－，0)和[1，∞＋)上恰有1个零点．综上可知，过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．[变式4](选修2－2P32B组T1(1))设函数f(x)＝sinx－x.(1)求证：当x∈[0，π)时，f(x)≤0恒成立；(2)若s<0时“，>a”“等价于sinx－ax>0”；“