课时达标检测（三十九）利用空间向量求空间角[——一般难度题全员必做]1．已知直三棱柱ABCA1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，∴BD＝(0，－1,2)，A1C＝(－2,0，－2)，∴cos〈BD，A1C〉＝＝－.∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.2.(2018·河南洛阳模拟)已知三棱锥ABCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝2，E，F分别是AC，BC的中点，P为线段BC上一点，且CP＝2PB.(1)求证：AP⊥DE；(2)求直线AC与平面DEF所成角的正弦值．解：(1)证明：作PG∥BD交CD于点G.连接AG.∴＝＝2，∴GD＝CD＝. AD⊥平面BCD，∴AD⊥DC， 在△ADG中，tan∠GAD＝，∴∠DAG＝30°，在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝4＋12＝16，∴AC＝4，又E为AC的中点，∴DE＝AE＝2，又AD＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE. AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，又 BD⊥CD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC，∴PG⊥平面ADC，∴PG⊥DE.又 AG∩PG＝G，∴DE⊥平面AGP，又AP⊂平面AGP，∴AP⊥DE.(2)以D为坐标原点，直线DB、DC、DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，∴DF＝(1，，0)，DE＝(0，，1)，AC＝(0,2，－2)．设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝3，则n＝(3，－，3)．设直线AC与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AC，n〉|＝＝＝，所以AC与平面DEF所成角的正弦值为.3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值．解：(1)证明： PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD.又CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC.又AF⊥PC，AD∩AF＝A，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.(2)设AB＝1，则在Rt△PDC中，CD＝1，又∠DPC＝30°，∴PC＝2，PD＝，∠PCD＝60°.由(1)知CF⊥DF，∴DF＝CDsin60°＝，CF＝CDcos60°＝.又FE∥CD，∴＝＝，∴DE＝.同理EF＝CD＝.如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，E，F，P(，0,0)，C(0,1,0)．设m＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则又AE＝，EF＝，∴令x＝4，得m＝(4,0，)．由(1)知平面ADF的一个法向量为PC＝(－，1,0)，设二面角DAFE的平面角为θ，可知θ为锐角，故cosθ＝|cos〈m，PC〉|＝＝＝.故二面角DAFE的余弦值为.[——中档难度题学优生做]1.(2018·郑州质量预测)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED(图略)，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)法一：因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱的棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，可得BG＝，在Rt△BCG中，sin∠BCG＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二：设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点，OA1，OD，OC1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)．所以BC＝，A1D＝，DC＝.设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝2，得n＝(2,1,0)．设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为....
