分层限时跟踪练(三十一)(限时40分钟)一、选择题1．(2015·贵州八校联盟)已知数列{an}是等差数列，若a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，则数列{an}的公差d等于()A．1B．－1C．2D．－2【解析】因为a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，所以(a4＋4)2＝(a2＋2)(a6＋6)，化简得d2＋2d＋1＝0，所以d＝－1，故选B.【答案】B2．(2015·江西省高考适应性测试)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝8，数列{an＋1－2an}是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是()A．{an}是等差数列B．{an}是等比数列C.是等差数列D.是等比数列【解析】由已知a2－2a1＝4，an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，故－＝1，所以{}是等差数列，故选C.【答案】C3．已知在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|a30|等于()A．445B．765C．1080D．3105【解析】 an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3.∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列．∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63，n∈N*.令an≤0，得n≤21.∴前20项都为负值．∴|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|a30|＝－(a1＋a2…＋＋a20)＋a21…＋＋a30＝－2S20＋S30. Sn＝＝，∴|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|a30|＝765，故选B.【答案】B4．设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分n次付清，若每期利率r保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是()A.(1＋r)n元B.元C.(1＋r)n－1元D.元【解析】设每期期末所付款是x元，则各次付款的本利和为x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3…＋＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n，即x·＝a(1＋r)n，故x＝.【答案】B5．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0【解析】 a3，a4，a8成等比数列，∴a＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2. d≠0，∴a1d<0. Sn＝na1＋d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.【答案】B二、填空题6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于．【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.【答案】67．(2015·天津模拟)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为．【解析】an＝an－an－1＋an－1－an－2…＋＋a2－a1＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)…＋＋2＋33＝2(1＋2…＋＋n－1)＋33＝(n－1)n＋33，故＝n＋－1.令f(x)＝x＋－1，则f(x)＝x＋－1在(0，)上单调递减，在(∞，＋)上单调递增．又f(5)＝＞f(6)＝，故的最小值为.【答案】8．(2014·安徽高考)如图551，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3…，，A5A6＝a7，则a7＝.图551【解析】根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，∴{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，∴a7＝a1q6＝2×6＝.【答案】三、解答题9．(2015·吉林模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn≤，求证：Tn＜.【解】(1)由已知及等差数列的性质得S5＝5a3，∴a3＝14，又a2，a7，a22成等比数列，即a＝a2·a22.由(a1＋6d)2＝(a1＋d)(a1＋21d)且d≠0，解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4.故数列{an}的通项公式为an＝4n＋2，n∈N*.(2)由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝，∴Tn＝＝－.又Tn≥T1≤＝－＝，所以Tn＜.10.(2015·安徽高考)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.【解】(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝，所以数列{xn}的通项公式xn＝.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，Tn＝xx…x＝22…2.当n...
