能力升级练(二十二)函数与方程思想一、选择题1.若2x+5y≤2-y+5-x,则有()A.x+y≥0B.x+y≤0C.x-y≤0D.x-y≥0解析把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y=2x-5-x,其为R上的增函数,所以有x≤-y.答案B2.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5❑√2B.❑√46+❑√2C.7+❑√2D.6❑√2解析设Q(x,y),则该点到圆心的距离d=❑√(x-0)2+(y-6)2=❑√x2+(y-6)2=❑√10(1-y2)+(y-6)2=❑√-9y2-12y+46,y∈[-1,1],∴当y=--122×(-9)=-23时,dmax=❑√-9×(-23)2-12×(-23)+46=❑√50=5❑√2.∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax+r=5❑√2+❑√2=6❑√2.故选D.答案D3.若a>1,则双曲线x2a2−y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是()A.(1,❑√2)B.(❑√2,❑√5)C.[❑√2,❑√5]D.(❑√3,❑√5)解析e2=(ca)2=a2+(a+1)2a2=1+1+1a2,因为当a>1时,0<1a<1,所以2m(x2-1)对满足m∈[-2,2]的一切实数m都成立,则x的取值范围.解析设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则不等式2x-1>m(x2-1)恒成立⇔f(m)<0恒成立.∴在-2≤m≤2时,f(m)<0⇔{f(2)=2(x2-1)-(2x-1)<0,f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0,解得❑√7-12b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F1F2|=2❑√3.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.解(1)因为2a=4,2c=2❑√3,所以a=2,c=❑√3,所以b=1.所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.设D(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-8mk4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,又M(-mk,0),N(0,m),由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN,所以-8mk4k2+1=-mk,所以k=12(k>0).所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以-❑√3≤-2m≤❑√3且m≠0,所以(k1k2)2=[y1(x2-2)y2(x1+2)]2=(2-x1)(2-x2)(2+x2)(2+x1)=4-2(x1+x2)+x1x24+2(x1+x2)+x1x2=4-2·(-2m)+2m2-24+2·(-2m)+2m2-2=(m+1)2(m-1)2,所以k1k2=1+m1-m=-1-2m-1.又因为k1k2=-1-2m-1在[-❑√32,0)∪(0,❑√32]上单调递增,所以7-4❑√3=1-❑√321+❑√32≤1+m1-m≤1+❑√321-❑√32=7+4❑√3,且1+m1-m≠1,即7-4❑√3≤k1k2≤7+4❑√3,且k1k2≠1,所以k1k2∈[7-4❑√3,1)∪(1,7+4❑√3].
