能力升级练(二十四)分类讨论思想一、选择题1.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a3,2x-3+1,x≤3满足f(a)=3,则f(a-5)的值为()A.log23B.1716C.32D.1解析分两种情况分析,{a≤3,2a-3+1=3,①或者{a>3,log2(a+1)=3②,①无解,由②得a=7,所以f(a-5)=22-3+1=32,故选C.答案C3.已知数列{an}的前n项和Sn=Pn-1(P是常数),则数列{an}是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对解析 Sn=Pn-1,∴a1=P-1,an=Sn-Sn-1=(P-1)·Pn-1(n≥2).当P≠1且P≠0时,{an}是等比数列;当P=1时,{an}是等差数列;当P=0时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.答案D4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为()A.54B.53C.54或53D.35或45解析若双曲线的焦点在x轴上,则ba=34,e=ca=❑√1+(ba)2=54;若双曲线的焦点在y轴上,则ba=43,e=ca=❑√1+(ba)2=53,故选C.答案C5.已知变量x,y满足的不等式组{x≥0,y≥2x,kx-y+1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于()A.-12B.12C.0D.-12或0解析不等式组{x≥0,y≥2x,kx-y+1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有直线y=kx+1与直线x=0垂直(如图①)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k的值为0或-12.答案D6.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.6解析当选0时,先从1,3,5中选两个数字有C32种方法,然后从选中的两个数字中选一个排在末位有C21种方法,剩余一个数字排在首位,共有C32C21=6种方法;当选2时,先从1,3,5中选两个数字有C32种方法,然后从选中的两个数字中选一个排在末位有C21种方法,其余两个数字全排列,共有C32C21A22=12种方法.依分类加法计数原理知,共有6+12=18个奇数.答案B二、填空题7.若x>0且x≠1,则函数y=lgx+logx10的值域为.解析当x>1时,y=lgx+1lgx≥2❑√lgx·1lgx=2,当且仅当lgx=1,即x=10时等号成立;当0|PF2|,则|PF1||PF2|的值为.解析若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, |PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2❑√5,解得|PF1|=143,|PF2|=43,∴|PF1||PF2|=72.若∠F2PF1=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,∴|PF1||PF2|=2.综上所述,|PF1||PF2|=2或72.答案2或7210.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是.解析因为{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0.当q=1时,Sn=na1>0;当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q>0,即1-qn1-q>0(n∈N*),则有{1-q>0,1-qn>0①或{1-q<0,1-qn<0,②由①得-11.故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).答案(-1,0)∪(0,+∞)三、解答题11.已知函数g(x)=axx+1(a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x).(1)若函数g(x)过点(1,1),求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;(2)判断函数f(x)的单调性.解(1)因为函数g(x)过点(1,1),所以1=a1+1,解得a=2,所以f(x)=ln(x+1)+2xx+1.由f'(x)=1x+1+2(x+1)2=x+3(x+1)2,则f'(0)=3,所以所求的切线的斜率为3.又f(0)=0,所以切点为(0,0),故所求的切线方程为y=3x.(2)因为f(x)=ln(x+1)+axx+1(x>-1),所以f'(x)=1x+1+a(x+1)-ax(x+1)2=x+1+a(x+1)2.①当a≥0时,因为x>-1,所以f'(x)>0,故f(x)在(-1,+∞)上单调递增.②当a<0时,由{f'(x)<0,x>-1,得...
