能力升级练(二十四)数形结合思想一、选择题1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4解析∵a>0,∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图,∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.答案B2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1]∪[4,+∞)B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.[1,2]D.(-∞,1]∪[2,+∞)解析(1)f(x)=|x+3|-|x-1|={-4(x<-3),2x+2(-3≤x≤1),4(x>1).画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2-3a≥4即可,解得a≤-1或a≥4.故选A.答案A3.已知函数f(x)={e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,若方程f(x)=a有4个不相等的实数根,则a的取值范围是()A.[1,2)B.(1,2)C.[2,e)D.(2,e)解析如图,作出函数f(x)={e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0的大致图象,其中f(-1)=2,f(0)=f(1)=1.作出直线y=a,显然当a∈(1,2)时,直线y=a与函数f(x)的图象有4个不同的交点,即方程f(x)=a有4个不相等的实数根.故选B.答案B4.已知函数f(x)={-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]解析函数y=|f(x)|的图象如图.①当a=0时,|f(x)|≥ax显然成立.②当a>0时,只需在x>0时,ln(x+1)≥ax成立.比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度.显然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立.③当a<0时,只需在x≤0时,x2-2x≥ax成立.即a≥x-2成立,所以a≥-2.综上所述:-2≤a≤0.故选D.答案D5.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析(1)由题意知圆的圆心坐标为(3,-1),半径长为2,|PQ|的最小值为圆心到直线x=-3的距离减去圆的半径长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选B.答案B二、填空题6.经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为,.解析如图所示,结合图形:为使l与线段AB总有公共点,则kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>0时,α为锐角.又kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=-1-10-2=1,∴-1≤k≤1.又当0≤k≤1时,0≤α≤π4;当-1≤k<0时,3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈0,π4∪3π4,π.答案[-1,1]0,π4∪3π4,π7.若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为.解析直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足|a-2b|❑√a2+b2<1,即4a>3b.在平面直角坐标系aOb中,-1
3b的区域为图中OCDE的内部,由E(34,1),可求得梯形OCDE的面积为58,而矩形ABCD的面积为2,由几何概型可知,所求的概率为516.答案5168.已知函数f(x)={x+1,0≤x<1,2x-12,x≥1,若a>b≥0,且f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是.解析如图,f(x)在[0,1),[1,+∞)上均单调递增,由a>b≥0及f(a)=f(b)知a≥1>b≥12.bf(a)=bf(b)=b(b+1)=b2+b,∵12≤b<1,∴34≤bf(a)<2.答案[34,2)9.过点(❑√2,0)引直线l与曲线y=❑√1-x2相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为.解析∵S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12sin∠AOB≤12.当∠AOB=π2时,S△AOB面积最大.此时O到AB的距离d=❑√22.设AB方程为y=k(x-❑√2)(k<0),即kx-y-❑√2k=0.由d=|❑√2k|❑√k2+1=❑√22得k=-❑√33.答案-❑√33三、解答题10.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-lnx(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)={f(x),x≤0,g(x),x>0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.解(1)f'(x)=3ax2-3a,f'(1)=0,g'(x)=2bx-1x,g'(1)=2b-1,依题意,得2b-1=0,所以b=12.(2)x∈(0,1)时,g'(x)=x-1x<0,即g(x)在(0,1)上单调递减,x∈(1,+∞)时,g'(x)=x-1x>0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12;当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解;当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上单调递减,x∈(-1,0)时,f'(x)>0,即f(x)在(-1,0)上单调递增,图①所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示,从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,即f(x)在(-∞,-1)上单调递增,x∈(-1,0)时,f'(x)<0,即f(x)在(-1,0)上单调递减,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.图②又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示,从图②看出,若方程F(x)=a2有四个解,则12
