能力升级练(七)等差数列与等比数列一、选择题1.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97解析设等差数列{an}的公差为d,由已知,得{9a1+36d=27,a1+9d=8,解得{a1=-1,d=1,所以a100=a1+99d=-1+99=98.答案C2.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为()A.8B.9C.10D.11解析由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∴a1am=a5a6=9,∴m=10.答案C3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2❑√2,则2a7+a11的最小值为()A.16B.8C.2❑√2D.4解析因为a4与a14的等比中项为2❑√2,所以a4·a14=a7·a11=(2❑√2)2=8,所以2a7+a11≥2❑√2a7a11=2❑√2×8=8,当且仅当a7=2,a11=4时,取等号,所以2a7+a11的最小值为8.答案B4.(2019山东淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a6a5=911,则S11S9=()A.1B.-1C.2D.12解析由于S11S9=11a69a5=119×911=1,故选A.答案A5.(2019中原名校联考)若数列{an}满足1an+1−1an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列{1xn}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.40解析依题意,11xn+1−11xn=xn+1-xn=d,∴{xn}是等差数列.又x1+x2+…+x20=20(x1+x20)2=200.∴x1+x20=20,从而x5+x16=x1+x20=20.答案B6.(2019北京海淀质检)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a1+8×72×17=996,解得a1=65.∴a8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.答案B7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,S99−S55=-4,则Sn取最大值时的n为()A.4B.5C.6D.4或5解析由{an}为等差数列,得S99−S55=a5-a3=2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11<0,得n>112,所以Sn取最大值时的n为5.答案B8.(2019上海崇明模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()A.1B.5C.3148D.1116解析由题意得a1(1-q3)1-q=3a1q2,解得q=-12或q=1(舍),所以S5=a1(1-q5)1-q=1-(-12)51-(-12)=1116.答案D9.(2019广东深圳一模)已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则ab=()A.-3B.-1C.1D.3解析∵等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,∴a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,∵等比数列{an}中,a22=a1a3,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得ab=-3.答案A二、填空题10.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为.解析设项数为2n,则由S偶-S奇=nd得,25-15=2n,解得n=5,故这个数列的项数为10.答案1011.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=.解析依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=89,因此S100=10S10+10×92d=10×16+10×92×89=200.答案20012.等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a13+a14a14+a15=.解析设{an}的公比为q.由题意,得a1+2a2=a3,则a1(1+2q)=a1q2,q2-2q-1=0,所以q=1+❑√2,或q=1-❑√2(舍).则a13+a14a14+a15=1q=❑√2-1.答案❑√2-113.(2018江苏南京模拟)已知数列{an}中,a1=2,且an+12an=4(an+1-an)(n∈N*),则其前9项的和S9=.解析由an+12an=4(an+1-an),得an+12-4an+1an+4an2=0,∴(an+1-2an)2=0,an+1an=2,∴数列{an}是首项a1=2,公比为2的等比数列,∴S9=2(1-29)1-2=1022.答案1022三、解答题14.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{bn}的通项公式bn=Snn,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.(1)解由题意,得a1=a,a2=4,a3=3a,∵a+3a=8,∴a1=a=2,公差d=4-2=2,∴Sk=ka1+k(k-1)2·d=2k+k(k-1)2×2=k2+k,由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)证明由(1)得Sn=n(2+2n)2=n(n+1),则bn=Snn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2.15.已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线y=x+2上,且首项a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前n项和为Tn,请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.解(1)根据已知a1=1,an+1=an+2,即an+1-an=2=d,所以数列{an}是一个首项为1,公差为2的等差数列,an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)数列{an}的前n项和Sn=n2.等比数列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,所以q=3,bn=3n-1.数列{bn}的前n项和Tn=1-3n1-3=3n-12.Tn≤Sn即3n-12≤n2,又n∈N*,所以n=1或2.
