能力升级练(三)不等式一、选择题1.不等式|x|(1-2x)>0的解集为()A.(-∞,0)∪(0,12)B.(-∞,12)C.(12,+∞)D.(0,12)解析当x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0
0,所以x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪(0,12).答案A2.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.不能确定解析由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有a2=1,故a=2.由f(x)的图象可知f(x)在[-1,1]上为增函数.所以x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.答案C3.若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是()A.a-b>0B.a3+b3>0C.a2-b2<0D.a+b<0解析由a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,当b≥0时,a+b<0成立,当b<0时,a+b<0成立,所以a+b<0,故选D.答案D4.(2018湖州质检)若实数m,n满足m>n>0,则()A.-1m<-1nB.❑√m−❑√n<❑√m-nC.(12)m>(12)nD.m21,y>1,且lgx,2,lgy成等差数列,则x+y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值200解析由题意得2×2=lgx+lgy=lg(xy),所以xy=10000,则x+y≥2❑√xy=200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y有最小值200.答案B6.设a>0,若关于x的不等式x+ax-1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为()A.16B.9C.4D.2解析在(1,+∞)上,x+ax-1=(x-1)+ax-1+1≥2❑√(x-1)×a(x-1)+1=2❑√a+1(当且仅当x=1+❑√a时取等号).由题意知2❑√a+1≥5.所以a≥4.答案C7.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批产品应生产()A.60件B.80件C.100件D.120件解析设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是800x元,仓储费用是x8元,总的费用是(800x+x8)元,由基本不等式得800x+x8≥2❑√800x·x8=20,当且仅当800x=x8,即x=80时取等号.答案B8.(2019湖北孝感调研)“a>b>0”是“abb>0,可知a2+b2>2ab,充分性成立,由abNB.M0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=1-a1+a+1-b1+b=2-2ab1+a+b+ab>0,即M>N.故选A.答案A二、填空题10.已知不等式mx2+nx-1m<0的解集为xx<-12或x>2,则m-n=.解析由已知得m<0且-12,2是方程mx2+nx-1m=0的两根,∴{-12+2=-nm,(-12)×2=-1m2,解得{m=-1,n=32或{m=1,n=-32(舍).∴m-n=-1-32=-52.答案-5211.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是.解析设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.于是得{m+n=4,n-m=-2,解得{m=3,n=1.∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.答案[5,10]12.函数y=x2+2x-1(x>1)的最小值为.解析y=x2+2x-1=(x2-2x+1)+2x-2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+3x-1=(x-1)+3x-1+2≥2❑√3+2.当且仅当x-1=3x-1,即x=❑√3+1时,等号成立.答案2❑√3+213.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.解析因为x>0,y>0,所以9-(x+3y)=xy=13x·(3y)≤13·(x+3y2)2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时等号成立.设x+3y=t>0,则t2+12t-108≥0,所以(t-6)(t+18)≥0,又因为t>0,所以t≥6.故当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.答案6三、解答题14.(2019山东潍坊调研)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,且m,n为正数,求1m+1n的最小值.解∵曲线y=a1-x恒过定点A,x=1时,y=1,∴A(1,1).将A点代入直线方程mx+ny-1=0(m>0,n>0),可得m+n=1,∴1m+1n=(1m+1n)·(m+n)=2+nm+mn≥2+2❑√nm·mn=4,当且仅当nm=mn且m+n=1(m>0,n>0),即m=n=12时,取得等号.15.(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.解要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,故mx2-mx+m-6<0,则m(x-12)2+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.方法一令g(x)=m(x-12)2+34m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0.所以m<67,则00,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1.因为函数y=6x2-x+1=6(x-12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.因为m≠0,所以m的取值范围是m0
