能力升级练(十六)直线与圆一、选择题1.(2019山西运城中学、芮城中学期中联考)直线l:xsin30°+ycos150°+1=0的斜率为()A.❑√33B.❑√3C.-❑√3D.-❑√33解析直线方程为12x-❑√32y+1=0,整理为斜截式为y=❑√33x+23❑√3,可知直线的斜率为❑√33.故选A.答案A2.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y+2)2=1解析由题意知圆心的坐标为(1,2).易知(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),所以圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A.答案A3.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.❑√3D.2解析圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=|a+4-1|❑√a2+1=1,解得a=-43.答案A4.(2019重庆期末)直线mx+y+1-m=0与圆x2+y2+x-2y-6=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定解析把圆的方程化为标准形式可得x+122+(y-1)2=294,直线方程可化为m(x-1)+y+1=0,故可得直线过定点A(1,-1),点A到圆心的距离为❑√94+4=52<❑√292,即点A在圆内,故直线与圆相交,故选A.答案A5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC,BD,则以点A,B,C,D为顶点的四边形ABCD的面积为()A.10❑√6B.20❑√6C.30❑√6D.40❑√6解析已知圆的圆心为(3,4),半径为5,则最短的弦长为2❑√52-12=4❑√6,最长的弦为圆的直径为10,且最短的弦与最长的弦垂直,于是四边形的面积为12×4❑√6×10=20❑√6.故选B.答案B6.(2019江西临川第一中学高三上学期期末)已知圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为Q(1,1),直线AB交x轴于点P,则|PA|·|PB|=()A.4B.5C.6D.8解析x2+y2-4x-5=0可化为(x-2)2+y2=9,所以圆x2+y2-4x-5=0的圆心坐标为C(2,0),半径为3.它与坐标轴的交点分别为M,N,所以|MO|=1,|NO|=5,因为弦AB的中点为Q(1,1),所以QC⊥AB,kQC=1-01-2=-1,所以kAB=1,所以直线AB的方程为y-1=x-1,即y=x,所以点P的坐标为(0,0),它与原点重合.由圆的性质可得|PA|·|PB|=|MO|·|NO|=5,故选B.答案B7.(2019湖北沙市中学期末)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=❑√3x和l2:y=kx-1被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为()A.12B.❑√33C.1D.❑√3解析圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2,圆心到线l1:y=❑√3x的距离为❑√3,l1被圆C所截得的弦的长度为2❑√22-3=2,圆心到l2的距离为|2k-1|❑√k2+1,l2被圆C所截得的弦的长度为2❑√4-(2k-1❑√k2+1)2,由l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,可得2❑√4-(2k-1❑√k2+1)2=2×2,解得k=12,故选A.答案A8.(2019湖南永州模拟)自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0解析由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D.答案D9.直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M,N,且|⃗MN|≥❑√3∨⃗OM+⃗ON|,其中O是坐标原点,则实数m的取值范围是().A.(-2❑√2,-❑√2]∪[❑√2,2❑√2)B.(-4❑√2,-2❑√2]∪[2❑√2,4❑√2)C.[-2,2]D.[-2❑√2,2❑√2]解析设MN的中点为D,则⃗OM+⃗ON=2⃗OD,|⃗MN|≥2❑√3∨⃗OD|,由|⃗OD|2+14|⃗MN|2=16,得16=|⃗OD|2+14|⃗MN|2≥|⃗OD|2+14(2❑√3|⃗OD|)2,从而得|⃗OD|≤2,由点到直线的距离公式可得|⃗OD|=|m|❑√2≤2,解得-2❑√2≤m≤2❑√2.答案D二、填空题10.(2018山东日照六校联考)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆有条公切线.解析圆C1的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,圆心为C1(-1,3),半径为r1=3,圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16,圆心为C2(2,-1),半径为r2=4,又|C1C2|=❑√(-1-2)2+[3-(-1)]2=5,故r2-r1<|C1C2|0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,则12a+2c的最小值为.解析动直线l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0.又Q(4,0)...
