能力升级练(五)三角函数的图象与性质一、选择题1.sin600°的值为()A.-12B.-❑√32C.12D.❑√32解析sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-❑√32.答案B2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=()A.-45B.-35C.35D.45解析由题意知,tanθ=2,即sinθ=2cosθ.将其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ=15,故cos2θ=2cos2θ-1=-35.答案B3.(2019山东潍坊一模)若角α的终边过点A(2,1),则sin(32π-α)=()A.-2❑√55B.-❑√55C.❑√55D.2❑√55解析由三角函数定义,cosα=2❑√5=25❑√5,则sin(32π-α)=-cosα=-2❑√55.答案A4.若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45B.-15C.15D.45解析cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=45.答案D5.(2019北京海淀模拟)若cos(α+π3)=45,则cos(π3-2α)=()A.2325B.-2325C.725D.-725解析∵cos(α+π3)=45,∴cos(α+π3)=sinπ2−(α+π3)=sin(π6-α)=45,∴cos(π3-2α)=1-2sin2(π6-α)=-725.答案D6.函数y=Asin(ωx+φ)-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则()A.y=2sin(2x-π6)B.y=2sin(2x-π3)C.y=2sin(x+π6)D.y=2sin(x+π3)解析由题图可知,A=2,T=2[π3-(-π6)]=π,所以ω=2,由五点作图法知2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=-π6+2kπ,因为-π2<φ<π2,所以φ=-π6.所以函数的解析式为y=2sin(2x-π6).答案A7.(2019浙江杭州期中)将函数y=sin(x+φ2)·cosx+φ2的图象沿x轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值不可能是()A.-3π4B.-π4C.π4D.5π4解析将y=sin(x+φ2)cos(x+φ2)=12sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y=12sin(2x+π4+φ),由题意得π4+φ=kπ+π2(k∈Z),∴φ=kπ+π4(k∈Z),当k=-1,0,1时,φ的值分别为-3π4,π4,5π4,φ的取值不可能是-π4.答案B8.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2020)的值为()A.-1B.1C.3D.-3解析∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,∴f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=3.答案C9.(2019河北石家庄检测)若(π8,0)是函数f(x)=sinωx+cosωx图象的一个对称中心,则ω的一个取值是()A.2B.4C.6D.8解析因为f(x)=sinωx+cosωx=❑√2sin(ωx+π4),由题意,知f(π8)=❑√2sin(ωπ8+π4)=0,所以ωπ8+π4=kπ(k∈Z),即ω=8k-2(k∈Z),当k=1时,ω=6.答案C二、填空题10.已知扇形的圆心角为π6,面积为π3,则扇形的弧长等于.解析设扇形半径为r,弧长为l,则{lr=π6,12lr=π3,解得{l=π3,r=2.答案π311.(2018辽宁沈阳质检)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f(π4)=.解析由图象可知A=2,34T=11π12−π6=3π4,∴T=π,∴ω=2.∵当x=π6时,函数f(x)取得最大值,∴2×π6+φ=π2+2kπ(k∈Z),∴φ=π6+2kπ(k∈Z).∵0<φ<π,∴φ=π6,∴f(x)=2sin(2x+π6),则f(π4)=2sin(π2+π6)=2cosπ6=❑√3.答案❑√312.(2019山东日照调研)sin10°1-❑√3tan10°=.解析sin10°1-❑√3tan10°=sin10°cos10°cos10°-❑√3sin10°=2sin10°cos10°4(12cos10°-❑√32sin10°)=sin20°4sin(30°-10°)=14.答案1413.已知sinθ+cosθ=43,θ∈(0,π4),则sinθ-cosθ的值为.解析∵sinθ+cosθ=43,∴sinθcosθ=718.又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=29,又∵θ∈(0,π4),∴sinθ-cosθ=-❑√23.答案-❑√23三、解答题14.已知α,β∈(0,π),tanα=2,cosβ=-7❑√210,求2α-β的值.解因为tanα=2>0,α∈(0,π),所以α∈(0,π2).同理可得β∈(π2,π),且tanβ=-17.所以α-β∈(-π,0),tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=3>0,所以α-β∈(-π,-π2),所以2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tanα+tan(α-β)1-tanαtan(α-β)=-1,所以2α-β=-π4.15.已知函数f(x)=❑√3sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2的图象关于直线x=π3对称,且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f(π4)的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位后,得到y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.解(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2.又f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以2×π3+φ=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ-π6(k∈Z).因为-π2≤φ<π2,所以k=0,所以φ=-π6,所以f(x)=❑√3sin(2x-π6),则f(π4)=❑√3sin2×π4−π6=❑√3sinπ3=32.(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位后,得到f(x-π12)的图象,所以g(x)=f(x-π12)=❑√3sin2x-π12-π6=❑√3sin(2x-π3).当2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2(k∈Z),即kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z)时,g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为kπ+5π12,kπ+11π12(k∈Z).
