规范解答集训(六)函数、导数、不等式(建议用时：60分钟)1．(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝ex(x2－2x＋a)(其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设曲线y＝f(x)在(a，f(a))处的切线为l，当a∈[1,3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围．[解](1)f′(x)＝ex(x2－2x＋a)＋ex(2x－2)＝ex(x2＋a－2)，当a≥2时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a<2时，f′(x)≥0⇔x2≥2－a⇔x≤－或x≥，函数f(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在区间(－，)上单调递减．(2)f(a)＝ea(a2－a)，f′(a)＝ea(a2＋a－2)，所以直线l的方程为y－ea(a2－a)＝ea(a2＋a－2)(x－a)．令x＝0，得截距b＝ea(－a3＋a)，记g(a)＝ea(－a3＋a)(1≤a≤3)，则g′(a)＝ea(－a3－3a2＋a＋1)，记h(a)＝－a3－3a2＋a＋1(1≤a≤3)，则h′(a)＝－3a2－6a＋1<0(1≤a≤3)，所以h(a)在[1,3]上单调递减，所以h(a)≤h(1)＝－2<0，所以g′(a)<0，即g(a)在区间[1,3]上单调递减，所以g(3)≤g(a)≤g(1)，即截距的取值范围是[－24e3,0]．2．(2019·武汉调研)已知m∈R，函数f(x)＝lnx＋2x2－mx＋1，g(x)＝3x2－2mx－(m2－1)lnx＋1.(1)若f(x)为增函数，求实数m的取值范围；(2)若m0为g(x)≥f(x)恒成立时m取到的最大值，求m＝m0时曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程．[解](1)令f′(x)＝＋4x－m＝≥0(x>0)，得4x2－mx＋1≥0(x>0)．①若m≤0，此时4x2－mx＋1≥0(x>0)恒成立；②若m>0，有Δ＝m2－16≤0，即0
0)，①若m>0，则x∈(0，m)时，F′(x)<0，x∈(m，＋∞)时，F′(x)>0，故F(x)，F′(x)随x的变化如表，x(0，m)m(m，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值F(x)min＝F(m)＝－m2lnm≥0，即m≤1，故01时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当00，得x>1.∴函数g(x)在上单调递...
