规范解答集训(一)三角函数和解三角形(建议用时：40分钟)1．(2019·东莞模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为，且＋＝，求c的值．[解](1)由题意知＝，根据正弦定理得＝，得sinC＝.∵C是锐角三角形的内角，∴C＝.(2)因为S△ABC＝＝absinC，∴ab＝4，又∵＋＝＝，∴a＋b＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝48－12＝36，∴c＝6.2．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若其面积S＝(a2＋c2－b2)．(1)求角B；(2)若b＝2，a＋c＝6，求△ABC的面积．[解](1)∵三角形的面积S＝(a2＋c2－b2)，∴acsinB＝(a2＋c2－b2)．即sinB＝×＝×＝cosB，即tanB＝，即B＝.(2)∵B＝，b＝2，a＋c＝6，∴b2＝a2＋c2－2accosB，即12＝(a＋c)2－2ac－2ac×＝36－3ac，得3ac＝24，得ac＝8，则三角形的面积S＝acsinB＝×8×＝2.3．(2019·郑州模拟)如图，四边形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝.(1)求∠ACB；(2)若∠ADC＝，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．[解](1)设BC＝a，则AC＝a，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即3a2＝42＋a2－2×4×a×，可得a2＋2a－8＝0，解得a＝2，或a＝－4(舍去)，所以AB2＝AC2＋BC2，即∠ACB＝.(2)由(1)得S△ABC＝·AC·BC＝2.因为四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，AC＝2，∠ADC＝，所以AD＋CD＝4，又AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即12＝AD2＋DC2＋AD·DC＝(AD＋CD)2－AD·DC，所以AD·DC＝4，所以S△ADC＝AD·DC·sin＝，所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2＋＝3.4．(2019·荆州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB(acosC＋ccosA)＝b.(1)求B；(2)若b＝2，设A＝α，△ABC的周长为l，求l＝f(α)的解析式并求f(α)的最大值．[解](1)由2cosB(acosC＋ccosA)＝b，可得2cosB(sinAcosC＋sinCcosA)＝2cosBsin(A＋C)＝2cosBsinB＝sinB，由于sinB≠0，得cosB＝.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)b＝2，由正弦定理＝＝，及A＝α，C＝π－(A＋B)＝－α，得：＝＝，∴a＝sinα，c＝sin，∴△ABC周长l＝f(α)＝a＋b＋c＝sinα＋2＋sin＝＋2＝＋2＝4＋2＝4sin＋2，∵0＜α＜，∴当α＋＝，即α＝时，lmax＝f＝4＋2＝6.所以△ABC周长的最大值为6.5．(2019·汕头模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b，c,2acosB成等差数列．(1)求角A；(2)若a＝，b＝3，D为BC中点，求AD的长．[解](1)∵b，c,2acosB成等差数列，则2c＝b＋2acosB，由正弦定理得：2×2RsinC＝2RsinB＋2×2RsinAcosB(R为△ABC外接圆半径)，∴2sinC＝sinB＋2sinAcosB，∴2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB＝sinB＋2sinAcosB，即2cosAsinB＝sinB.∵sinB≠0，∴cosA＝.又0＜A＜π，∴A＝.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴13＝9＋c2－2×3×c×，即c2－3c－4＝0，∴c＝4，或c＝－1(舍去)，故c＝4.在△ABC中，cosC＝＝＝，∴在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cosC＝32＋2－2×3××＝，所以AD＝.
