核心素养提升练三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∨(p2)中,真命题是()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4【解析】选C.对于p1(充分性)若xy≥0,则xy至少有一个为0或同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得:x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2.所以xy=|x||y|,即xy≥0.故p1为真命题.对于p2,因为y′=2xln2-ln2=ln2,当x∈(0,+∞)时,2x>,又因为ln2>0,所以y′>0,函数在(0,+∞)上单调递增;同理,当x∈(-∞,0)时,y′<0,函数在(-∞,0)上单调递减.因此p2为假命题.所以q1真,q2假,q3假,q4真.2.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,x2≥0B.∀x∈R,2x-1>0C.∃x0∈N,sinx0=1D.∃x0∈R,sinx0+cosx0=2【解析】选D.因为任何实数的平方均非负,所以选项A正确;由指数函数的性质知:2x-1>0,所以选项B正确;因为当x=1时,sin=1,所以选项C正确;因为sinx+cosx=sin,所以-≤sinx+cosx≤,所以选项D错误.3.命题“∃x0∈R,<或>x0”的否定是()A.∃x0∈R,≥或≤x0B.∀x∈R,2x≥或x2≤xC.∀x∈R,2x≥且x2≤xD.∃x0∈R,≥且≤x0【解析】选C.特称命题的否定是全称命题,注意“或”的否定为“且”.【变式备选】命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n
siny,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A.p或qB.p且qC.qD.p【解析】选B.取x=,y=,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.5.(2019·唐山模拟)已知命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则()A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真【解析】选A.由<,得(x0-1)<0,解得x0<0或00,由题意知,其为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2×<0.则-21.答案:∃x0∈R,cosx0>19.给出下列命题:①∀x∈R,x2+1>0;②∀x∈N,x2≥1;③∃x0∈Z,<1;④∃x0∈Q,=3;⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x0∈R,+1=0.其中所有真命题的序号是________.【解析】①显然是真命题;②中,当x=0时,x2<1,故②是假命题;③中,当x=0时,x3<1,故③是真命题;④中,对于任意的x∈Q,x2=3都不成立,故④是假命题;⑤中,只有当x=1或x=2时,x2-3x+2=0才成立,故⑤是假命题;⑥显然是假命题.综上可知,所有真命题的序号是①③.答案:①③10.(2018·枣庄模拟)若“∀x∈,m≤tanx+1”为真命题,则实数m的最大值为________.【解析】“∀x∈,m≤tanx+1”为真命题,可得-1≤tanx≤1,所以0≤tanx+1≤2,所以实数m的最大值为0.答案:0(20分钟40分)1.(5分)已知f(x)=3sinx-πx,命题p:∀x∈,f(x)<0,则()A.p是假命题,p:∀x∈,f(x)≥0B.p是假命题,p:∃x0∈,f(x0)≥0C.p是真命题,p:∃x0∈,f(x0)≥0D.p是真命题,p:∀x∈,f(x)>0【解析】选C.因为f′(x)=3cosx-π,所以当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,即对∀x∈,f(x)
