几何证明选讲A组(供高考题型为填空题的省份使用)1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.解析 AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.又 AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝，∴BE＝＝＝4.答案42．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝AD－DF＝.答案3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝.答案4.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.解析如图，连接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°， ∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°.答案60°5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析由切割线定理知，C2＝PA·PB，解得PC＝2.连接OC，又OC⊥PC，故CD＝＝＝.答案6．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．解析由切割线定理，得CD2＝BD·AD.因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，即BD2＋5BD－36＝0，即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是＝.所以AC＝·BC＝×3＝.答案7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．解析由题意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60°，∠ACB＝∠D＝90°，∴△ABC∽△CBD.∴＝，CD＝＝＝5.又 CD与圆相切，∴CD2＝DE·DB，则DE＝＝＝＝5.答案58．如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.解析由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF，由△COF∽△PDF可得＝，即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF，即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3.答案39．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．解析 ∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝. ＝，＝，∴＝.答案10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.解析C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2.答案211．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.解析如图，连接DC，则CD⊥AB，Rt△ADC∽Rt△ACB.故＝，即＝，AD＝(cm)，BD＝5－＝(cm)．答案12．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.解析 直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2＝AD·AC＝mn，即得AB＝.答案13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．解析由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，∴FC＝＝2.由△AFC∽△ABD，可知＝，∴BD＝＝.由切割线定理得DB2＝DC·DA，又DA＝4CD，∴4DC2＝DB2＝，∴DC＝.答案14．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．解析设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝.所以AF＝2，BF＝1，BE＝，AE＝.由切割线定理，得CE2＝BE·EA...
