第4讲导数的简单应用一、填空题1．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为________．解析由题意知，函数的定义域为(0∞，＋)，又由f′(x)＝x≤－0，解得00，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9
答案9二、解答题9．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4
(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，∴a＝4，b＝4
(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝2(x＋2)(2ex－1)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ln，列表：x(∞－，－2)－2lnf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴y＝f(x)在(∞－，－2)，上单调递增；在上单调递减．故f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2
10．(·上饶模拟)已知f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)．(1)当a＝1时，求f(x)的极值；(2)当a＞0时，讨论f(x)的单调性．解(1)当a＝1时，f(x)＝2x－－3lnx，f′(x)＝2＋－(x＞0)＝＝，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1
当0＜x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0
可知f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1∞，＋)上是增函数．∴f(x)的极大值为f＝3ln2－1，f(x)的极小值为f(1)＝1
(2)f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx⇒f′(x)＝2a＋－(2＋a)＝＝
①当0＜a＜2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数；②当a＝2
