高考数学二轮复习 专题整合 1-5 导数的综合应用 理（含最新原创题，含解析）VIP专享VIP免费

第5讲导数的综合应用一、填空题1．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．解析由条件y′＝－4x2＋b，∴Δ＝0＋16b＞0，得b＞0.答案(0∞，＋)2．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0∞，＋)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.∴f(x)在(0,4)上递减，在(4∞，＋)上递增，∴当x∈[0∞，＋)时，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.答案3．(·扬州模拟)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(∞－，ln2)上递增，在(ln2∞，＋)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(∞－，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．答案(∞－，2ln2－2]4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为______．解析构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案(0∞，＋)5．(·温州模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.答案(－4,0)6．若函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝＝－.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<10，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.答案二、解答题9.(·徐州质检)现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)．(1)求出x与y的关系式；(2)求该铁皮盒体积V的最大值．解(1)由题意得x2＋4xy＝4800，即y＝，0＜x＜60.(2)铁皮盒体积V(x)＝x2y＝x2×＝－x3＋1200x，V′(x)＝－x2＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，因为x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函数；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是减函数，所以V(x)＝－x3＋1200x，在x＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm3.所以该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3.10．(·东北三校联考)已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2...