第3讲二项式定理分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()．A．3项B．4项C．5项D．6项解析Tr＋1＝C()24－rr＝Cx12－，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．答案C2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()．A．－150B．150C．300D．－300解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.答案B3．(·兰州模拟)已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()．A．28B．38C．1或38D．1或28解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案C4．(·天津)在5的二项展开式中，x的系数为()．A．10B．－10C．40D．－40解析因为Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·湖北)18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．解析Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.答案176．(·浙江)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2…＋＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2…，，a5为实数，则a3＝________.解析f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.答案10三、解答题(共25分)7．(12分)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解(1)由题意，得C＋C＋C…＋＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.8．(13分)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561……解(1)C＝C＋C.(2)1＋2＋22…＋＋2n＝2n＋1－1.(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5，由＝，得＝，即3n－7r＋3＝0.①由＝，得＝，即4n－9r－5＝0.②解①②联立方程组，得n＝62，r＝27，即C∶C∶C＝3∶4∶5.分层B级创新能力提升1．已知0
0)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.答案B2．(·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝()．A．0B．1C．11D．12解析512012＋a＝(13×4－1)2012＋a被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512012＋a能被13整除．答案D3．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2…＋＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3…＋＋a11)＝________.解析令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2…＋＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2…－－a11＋a12∴28＝2(a1＋a3…＋＋a11)，∴a1＋a3…＋＋a11＝27，∴log2(a1＋a3…＋＋a11)＝log227＝7.答案74．(·浙江)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2， B＝4A，a＞0，∴a＝2.答案25．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.6.已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的...
