第一章质点的运动1-1已知质点的运动方程为：，。式中x、y的单位为m，t的单位为ｓ。试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向。分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解(1)速度的分量式为当t＝0时,vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,则初速度大小为设vo与x轴的夹角为α,则α＝123°41′(2)加速度的分量式为,则加速度的大小为设a与x轴的夹角为β,则β＝-33°41′(或326°19′)1-2一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度a＝A-Bv，式中A、B为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。分析本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv＝a(v)dt分离变量为后再两边积分．解选取石子下落方向为y轴正向,下落起点为坐标原点．(1)由题(1)用分离变量法把式(1)改写为(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度由此可知当,t→∞时,为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．(2)再由并考虑初始条件有得石子运动方程1-3一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a=-kv2，k为常数。在关闭发动机后，试证：（1）船在t时刻的速度大小为；（2）在时间t内，船行驶的距离为01ln(1)xvktk；（3）船在行驶距离x时的速率为v=v0ekx。[证明]（1）分离变数得2ddvktv，故020ddvtvvktv，可得：011ktvv．（2）公式可化为001vvvkt，由于v=dx/dt，所以：00001ddd(1)1(1)vxtvktvktkvkt积分00001dd(1)(1)xtxvktkvkt．因此01ln(1)xvktk．(3)要求v(x)，可由，有积分得证毕．1－4行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。解：人前进的速度v0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，所以小车移动的速度小车移动的加速度1-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为，a的单位为m/s2，x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s，试求质点在任何坐标处的速度值。解： xvvtxxvtvadddddddd分离变量：xxadxd)62(d2两边积分得cxxv322221由题知，0x时，100v,∴50c∴13sm252xxv1-6如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度h后落在一倾角的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。解：小球落地时速度为建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图（1）（2）第二次落地时所以1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？解：由运动方程,消去t得轨迹方程以x＝05.0m，v＝25ms－1代入后得取g＝10.0，则当时，〈13所以他不能射中，能射中得最大高度为1-8一质点沿半径为R的圆周按规律运动，v0、b都是常量。(1)求t时刻质点的总加速度；(2)t为何值时总加速度在数值上等于b？(3)当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？分析在自然坐标中,s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s＝s(t),对时间t求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2/R．这样,总加速度为a＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st-s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解(1)质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为Hhv0图1-18习题1-4图,故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2)要使｜a｜＝b,由可得(3)从t＝0开始到t＝v0/b时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1-9已知质点的运动方程为：，式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为这是一条空间螺旋线。在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h（2）（3），1－10飞机以100m·s-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地...
