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例1路灯离地面高度为H，一个身高为h的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。解:建立如右下图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为，设头顶影子的坐标为，则由图中看出有则有所以有;例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率。A离地高度保持为h，h=1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H=10m，滑轮半径忽略不计，求：1(1)重物B上升的运动方程；(2)重物B在时刻的速率和加速度；(3)重物B到达C处所需的时间。解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0=H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为因绳长为由上式可得重物的运动方程为(SI)(2)重物B的速度和加速度为(3)由知2当时，。此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x=2t,y=4t2-8(SI)。(1)求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；(2)求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。解：(1)在运动方程中消去t，可得轨道方程为，轨道曲线为一抛物线如右图所示。(2)由可得:在t1=1s时，在t2=2s时,3例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。由题意可知，加速度和时间的关系为:根据直线运动加速度的定义因为t=0时，v0=0，故根据直线运动速度的定义有4因为t=0时，x0=0，则位移为例5(1)对于作匀速圆周运动的质点，试求直角坐标和单位矢量i和j表示其位置矢量r,并由此导出速度v和加速度a的矢量表达式。(2)试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心。解:(1)由右图可知式中，，，且根据题意是常数，所以，有又因5所以(2)由上式可见，a与r方向相反，即a指向轨道圆周中心。6一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径R=2.2cm，外半径为R=5.6cm,如右图所示，径向音轨密度N=650条/mm。在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以的恒定速度运动的。这张光盘的全部放音时间是多少？激光束到达离盘心r=5.0cm处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少？解:(1)以r表示激光束打到音轨上的点对光盘中心的径矢，则在dr宽度内的音轨长度为2πrNdr。激光束划过这样长的音轨所用的时间为dt=2πrNdr/v。由此得光盘的全部放音时间为(2)所求角速度为所求角加速度为6例3两个质量均为m的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。解:设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和mv组成的平面垂直）。角动量的大小为例6如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。解：对m1，由牛顿第二定律对m2，由牛顿第二定律对滑轮，用转动定律7又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑联立解以上诸方程，可得例7如图5-8所示。两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。解：如图示，由牛顿第二定律对m1：对m2：对整个轮，由转动定律又由运动学关系8联立解以上诸式，即可得例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO′转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，且开始时m1、m2离地均为h=2m，求：（1）柱体转动时的角加速度；（2）两侧...