2024届广东省五粤名校联盟高三第一次联考数学试卷一、单选题1.在复数范围内，方程的解有（）A．个B．个C．个D．无数个2.二项式的各项系数之和为（）A．512B．C．2D．3.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（）A．6B．7C．8D．94.现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（）A．事件A，B不相互独立B．C．可能等于D．5.将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A．B．C．D．6.令．则的最大值在如下哪个区间中（）A．B．C．D．7.若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（）A．B．C．D．二、多选题8.设有正数列，其前项和为．则下列哪一个能使对任意的都有成立（）A．B．C．D．9.设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）X012PA．恒为1B．随增大而增大C．恒为D．最小值为010.关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A．是周期函数，最小正周期为B．是周期函数，最小正周期为C．是周期函数，最小正周期为D．是周期函数，最小正周期为11.设有数列，记，其中．则下列说法正确的有（）A．有零点对任意奇数成立B．若为偶数且，则至少有两个零点C．对任意与，一定存在使当时，恒成立D．若恒为1，则对任意都有唯一正零点，且一定大于三、填空题12.若，则______．13.在的极值点个数为______个．14.已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为______．四、解答题15.已知数列与为等差数列，，，前项和为．(1)求出与的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．16.现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；(2)为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．17.已知．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且(3)在（2）的条件下，证明：．18.在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．(1)对于元一次方程，试求其正整数解的个数；(2)对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数；(3)证明：（可不使用组合分析法证明）．注：与可视为二元一次方程的两组不同解．19.设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在上给出一个非单射的映射；(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
