第4讲计数原理与二项式定理一、选择题1．在某夏令营活动中，教官给6“”位萌娃布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有()A．10种B．40种C．70种D．80种解析：选B.若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B.2．(2019·合肥市第一次质量检测)若的展开式的常数项为60，则a的值为()A．4B．±4C．2D．±2解析：选D.的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax)6－r·＝(－1)r·a6－r·C·x6－r，令6－r＝0，得r＝4，则(－1)4·a2·C＝60，解得a＝±2，故选D.3．(2019·重庆市七校联合考试)(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35解析：选C.由多项式乘法知，若求(1＋x)6展开式中x2的系数，只需求(1＋x)6展开式中x2和x4的系数．(1＋x)6展开式中含x2和x4的项分别是Cx2＝15x2和Cx4＝15x4，所以(1＋x)6展开式中x2的系数是30.故选C.4．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A．4种B．8种C．12种D．24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8种站法，故选B.5．设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a10x10，则a1等于()A．80B．－80C．－160D．－240解析：选D.因为(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二项展开式中含x项的系数为C×(－1)4×C×(－2)5＋C×(－1)5×C×(－2)4＝－160－80＝－240，故选D.6．(2019·广州市综合检测(一))(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是()A．5B．10C．15D．20解析：选A.在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r.当r＝1时，得T2＝Cx4＝5x4，当r＝4时，得T5＝Cx＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5，选A.7．(2019·柳州模拟)从{1，2，3…，，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是()A．72B．70C．66D．64解析：选D.从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D.8．(2019·洛阳尖子生第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有()A．900种B．600种C．300种D．150种解析：选B.第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C×A＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C×A＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)．故选B.9．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为()A．39B．310C．311D．312解析：选D.对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2…＋＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3…＋＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3…－－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3…＋＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3…－－8a8＋9a9)＝312，故选D.10．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A．120...
