高三数学（理）平面与空间直线；直线与平面平行；平面与平面平行知识精讲人教版【本讲教育信息】一.教学内容：平面与空间直线；直线与平面平行；平面与平面平行二.本周教学重、难点：1.掌握平面的基本性质，两条直线平行与垂直的判定和性质定理，两条直线所成的角和距离的概念。2.掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理；直线和平面的距离；平面和平面间的距离的概念。【典型例题】[例1]有空间不同的五个点。（1）若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？（2）若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论。解：（1）当共面的某四点不共线，另一点不在该平面内时，这五点确定的平面最多，如图，最多可确定7个平面。（2）若任意四点都在同一平面内时，这五点必共面，证明如下：若A、B、C、D四点在内，又 A、B、C、P在同一平面内，可分如下情况证明：①若A、B、C三点不共线，则为A、B、C确定的平面，∴P在内，五点共面；②若A、B、C三点在直线上，则<1>当D或P也在上时，五点共面；<2>若D、P都不在上，则DP直线与AB直线必在A、B、D、P所在的平面上，∴C也在这一平面内，从而五点也共面。[例2]已知长方体中，AB=，求异面直线和AC所成角的余弦。解析：方法一：平移法。如图，连结BD交AC于E，取的中点F，连结EF，则∴就是和AC所成的角用心爱心专心116号编辑 ∴∴在中，方法二：补形法。如图，在长方体的一旁，补一个全等的长方体。则（或其补角）是和AC所成的角。 ∴在中，故与AC所成角的余弦值为[例3]如图所示，在三棱锥中，平面ABC，，，AC=BC。求异面直线AB与CD所成的角的余弦值。解：以AB、BC为邻边作ABCM，则是异面直线AB、CD所成的角，如图所示，设AC=BC= ∴AB DA⊥平面ABC∴ ∴又AM=∴DM=DC=用心爱心专心116号编辑∴[例4]如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点。（1）求D点到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离。解：（1）方法一：因为EF⊥BD，EF⊥PD，所以EF⊥平面PDB所以平面PEF⊥平面PDB，交线为PG所以D点到平面PEF的距离，就是D到PG的距离在中，，而，所以就是D到平面PEF的距离。方法二：因为，即所以所以D到平面PEF的距离是（2）连结AC交BD于O，则O到平面PEF的距离就为所求，因为平面PDG⊥平面PEF，所以O到PG的距离就是O到平面的距离，如图所示在中，OH⊥PG，所以所以所以所以AC到平面PEF的距离是用心爱心专心116号编辑[例5]如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F且=。求证：（1）EF//平面ABCD；（2）平面平面证明：（1）证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N连结MN， 平面ABCD∴∴∴ ∴AE=BF又 ∴EM=FN∴四边形MNFE是平行四边形∴EF//MN又平面ABCD∴EF//平面ABCD证法二：过E作EG//AB交于G，连结GF∴ ∴∴又 ∴平面EFG//平面ABCD又平面EFG∴EF//平面ABCD（2）证法一：如图所示，正方体中，又=∴平面平面证法二：连结 平面，∴（三垂线定理）同理，，又∴平面同理，平面∴平面平面用心爱心专心116号编辑[例6]如图所示，是边长为的正方形纸片，是正三角形，若去掉，分别以BD、CD为棱将面ABD，翻折，使A和重合，构成四面体形状，如图所示，求四面体ABCD中A点到平面BCD的距离。解： 为等边三角形∴∴ AB=AC=BC∴与都是等边三角形取BC的中点E，连结AE、DE，则BC⊥AE，BC⊥DE∴BC⊥截面ADE∴底面BCD⊥截面ADE过A作AF⊥DE于F，则AF⊥底面BCD在中，∴∴故A到平面BCD的距离为AF=AE[例7]如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，并且，VA=3，VA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交点，OE⊥VC于E。求：（1）点V到CD的距离；（2）异面直线VC与BD的距离；（3）点B到平面VCD的距离。用心爱心专心116号编辑解：（1）由已知∴∴是正三角形，取CD的中点F，连结AF、VF，则CD⊥AF又VA⊥面ABCD∴CD⊥VF（三垂线定理）∴VF为点V到CD的距离 AD=4∴AF=（2） 底面四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC又VA⊥底面ABCD∴VA⊥BD∴BD⊥面VAC∴BD⊥OE由已知OE⊥VC∴OE是异面直线BD和VC的公垂线段由（1）可知 ∴∴（3） AB//CD∴AB//面VCD，点B到...
